第2問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
ついた の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
座標空間内の4点O(0，0，0)、A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)を
考える。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ の大きさは∣$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ |= ア であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ ・$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ = イ である。また、
三角形ABCの面積は ウ である。三角形OABの内接円の半径は
エ である。
(2) 四面体OABCの体積は オ である。四面体OABCに内接する球の
中心をP、半径をrとするとき、四面体PABCの体積をrを用いて表すと
カ である。rの値はr= キ であり、点Pの座標は ク となる。
(3) 2つのベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の両方に垂直でx成分が1のベクトルは、 ケ
である。点Pを通り平面ABCに垂直な直線がxy平面と交わる点の座標
は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ イ 1 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{2}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3-\sqrt5}{2}\end{align*}}$ オ 1 カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}r\end{align*}}$
キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{6},0\right)\end{align*}}$
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(-1,2,0\right)\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|=\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2+0}=\underline{\sqrt5}\end{align*}}$
(イ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}=\left(-1,0,3\right)\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=1+0+0==\underline{1}\end{align*}}$
(ウ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AC}|=\sqrt{\left(-1\right)^2+0+3^2}=\sqrt{10}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle ABC&=\sf \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf AB}|^2|\overrightarrow{\sf AC}|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\right)^2} \\ &=\sf \frac{1}{2}\sqrt{5\cdot 10-1^2}\\ &=\sf \underline{\frac{7}{2}}\end{align*}}$
(エ)
△OABの内接円の半径をRとすると、OA=1、OB=2、
∠AOB=90°より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{2}R\left(1+2+\sqrt5\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ R=\frac{2}{3+\sqrt5}=\underline{\frac{3-\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
(オ)
OA、OB、OCは互いに垂直に交わり、OA=1、OB=2、OC=3
なので、四面体OABCの体積（Vとする）は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot\frac{1}{3}=\underline{1}\end{align*}}$
(カ)
四面体PABCの体積をV1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\triangle ABC\cdot r\cdot\frac{1}{3}=\underline{\frac{7}{6}r}\end{align*}}$
(キ)(ク)
四面体POAB、POBC、POCAの体積をそれぞれV2、V3、V4
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\frac{1}{3}r\ \ ,\ \ V_3=r\ \ ,\ \ V_4=\frac{1}{2}r\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=V_1+V_2+V_3+V_4\ \ \Leftrightarrow\ \ 1=\frac{7}{6}r+\frac{1}{3}r+r+\frac{1}{2}r\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\frac{1}{3}}\end{align*}}$
内接球はxy平面、yz平面、zx平面に接するので、中心Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{P\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)}\end{align*}}$
(ケ)
求めるベクトルを $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}=\left(1,y_1,z_1\right)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=-1+2y_1+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y_1=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=-1+0+3z_1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ z_1=\frac{1}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}=\underline{\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)}\end{align*}}$
(コ)
求める点をH(x2，y2，0)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}=\left(x_2-\frac{1}{3},y_2-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
PH//$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ なので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}=k\overrightarrow{\sf u}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x_2-\frac{1}{3},y_2-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)=k\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=-1\ ,\ x_2=-\frac{2}{3}\ ,\ y_2=-\frac{1}{6}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{H\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{6},0\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/09(日) 01:02:00|
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