第2問
次の文章中の に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号の
ついた の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
四角形OABCは辺OAを下底、辺CBを上底とする台形で、∠AOC=∠OAB
を満たしている。
|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$|=2、 |$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$|=1、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ ・$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$=t、
∠AOC=∠OAB=$\small\sf{\theta}$ （0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ ）
とする。
tを$\small\sf{\theta}$ を用いてあらわすとt= ア であり、|t|のとりうる値の範囲は
|t|＜ イ である。
上底CBの長さをcos$\small\sf{\theta}$ のみを用いてあらわすと ウ であり、台形OABC
の高さをcos$\small\sf{\theta}$ のみを用いてあらわすと エ である。
台形OABCの面積をtのみを用いてあらわすと オ であり、台形OABCの
面積の最大値を与えるtの値は カ である。
ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ およびtを用いて表すと、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ = キ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ +$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ で
あり、したがって、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ | = ク である。対角線OBとACの交点をPとする
とき、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ およびtを用いて表すと、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ = ケ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ +
コ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ イ 2 ウ 2-2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-\cos^2\theta}\end{align*}}$
オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\left(4-t\right)\sqrt{4-t^2}\end{align*}}$ カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\sqrt3\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2-t}{2}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{5-2t}\end{align*}}$
ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2-t}{4-t}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{4-t}\end{align*}}$
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=|\overrightarrow{\sf OA}||\overrightarrow{\sf OC}|\cos\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{2\cos\theta}\end{align*}}$
(イ)
0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ より |cos$\scriptsize\sf{\theta}$ |＜1であり、これと(ア)より、|t|＜2
(ウ)
CからOAに垂線CHを下すと、
OH=OCcos$\scriptsize\sf{\theta}$ =cos$\scriptsize\sf{\theta}$
図の対称性より、
CB=OA-2OH=2-2cos$\scriptsize\sf{\theta}$
(エ)
CH=OCsin$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sqrt{1-\cos^2\theta}}\end{align*}}$
(オ)
台形OABCの面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \bigg\{2+\left(2-2\cos\theta\right)\bigg\}\cdot\sqrt{1-\cos^2\theta}\cdot\frac{1}{2}\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(4-t\right)\sqrt{1-\left(\frac{t}{2}\right)^2}\ \ \ \ \ \left(\because\ t=2\cos\theta\right)\\ &=\sf \underline{\frac{1}{4}\left(4-t\right)\sqrt{4-t^2}}\\ &=\sf \frac{1}{4}\sqrt{-t^4+8t^3-12t^2-32t+64}\end{align*}}$
(カ)
関数f(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(t\right)=-t^4+8t^3-12t^2-32t+64\ \ \ \ \left(-2\lt t<2\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(t\right)&=\sf -4t^3+24t^2-24t-32 \\ &=\sf -4\left(t-4\right)\left(t^2-2t-2\right) \end{align*}}$
となり、t=1-$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ の前後でf’(t)の符号が正から負に変化するので、
f(t)およびSが最大になるのは t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{1-\sqrt3}\end{align*}}$ のときである。
(キ)
CB//OAより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OB}&=\sf \overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf CB}\\ &=\sf \overrightarrow{\sf OC}+\frac{CB}{OA}\overrightarrow{\sf OA}\\ &=\sf \overrightarrow{\sf OC}+\frac{2-2\cos\theta}{2}\overrightarrow{\sf OA}\\ &=\sf \underline{\frac{2-t}{2}\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}}\end{align*}}$
(ク)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf OB}|^2&=\sf \left|\frac{2-t}{2}\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right|^2\\ &=\sf \left(\frac{2-t}{2}\right)^2|\overrightarrow{\sf OA}|^2+2\cdot\frac{2-t}{2}\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+|\overrightarrow{\sf OC}|^2\\ &=\sf \frac{4-4t+t^2}{4}\cdot 2^2+\left(2-t\right)t+1\\ &=\sf 5-2t\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OB}|=\underline{\sqrt{5-2t}}\end{align*}}$
(ケ)(コ)
△OPA∽△BPCより、OP：BP=OA：BC=2：2-tなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}&=\sf \frac{2}{2+\left(2-t\right)}\overrightarrow{\sf OB}\\ &=\sf \underline{\frac{2-t}{4-t}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{2}{4-t}\overrightarrow{\sf OC}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/08(土) 02:06:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2017(個別)
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