第1問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
ついた の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
(1) x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{7+4\sqrt3}\end{align*}}$ とおく。x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a}+\sqrt{b}\end{align*}}$ を満たす自然数a、b（a＞b）は、
a= ア 、b= イ である。また、x+ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x}\end{align*}}$ を簡単にすると、x+ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x}\end{align*}}$ =
ウ である。
(2) xを正の実数とし、x+ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{x}\end{align*}}$ = t とおく。tのとりうる値の範囲は エ
である。また、P(x)=x4-4x3+4x2-8x+4とするとき、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{P\left(x\right)}{x^2}\end{align*}}$ をtの式
で表すと オ となる。したがって、方程式P(x)=0の実数解のうち
最大のものは カ である。
(3) 円Cはx軸と直線x=-1の両方に接し、中心は第1象限にあるとする。
円Cの半径をrとするとき、円Cの中心の座標をrを用いて表すと
キ であり、円Cが点(5，3)を通るとすると、r= ク または
ケ （ ク ＜ ケ ） である。また、r= ク のとき、点A
(-1，0)、B(0，-1)と円C上の点Pをとってできる三角形ABPの面積
の最小値は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 4 イ 3 ウ 4 エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt2\leqq t\end{align*}}$ オ t2-4t
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+\sqrt2\end{align*}}$ キ (r-1，r) ク 3 ケ 15 コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3-\frac{3}{2}\sqrt2\end{align*}}$
【解説】
(ア)(イ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{7+4\sqrt3}&=\sf \sqrt{7+2\sqrt{12}}\\ &=\sf \sqrt{\left(4+3\right)+2\sqrt{4\cdot 3}}\\ &=\sf \underline{\ \sqrt4+\sqrt3}\\ &=\sf 2+\sqrt3\end{align*}}$
(ウ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x+\frac{1}{x}&=\sf 2+\sqrt3+\frac{1}{2+\sqrt3}\\ &=\sf 2+\sqrt3+\frac{2-\sqrt3}{2^2-3}\\ &=\sf \underline{\ 4}\end{align*}}$
(エ)
x＞0より相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t&=\sf x+\frac{2}{x}\\ &\geqq \sf 2\sqrt{x\cdot\frac{2}{x}}\\ &=\sf \underline{\ 2\sqrt2}\end{align*}}$
(オ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{P\left(x\right)}{x^2}&=\sf \frac{x^4-4x^3+4x^2-8x+4}{x^2}\\ &=\sf x^2+\frac{4}{x^2}4x-\frac{8}{x}+4\\ &=\sf \left(x+\frac{2}{x}\right)^2-2\cdot x\cdot\frac{2}{x}-4\left(x+\frac{2}{x}\right)+4\\ &=\sf \underline{\ t^2-4t}\end{align*}}$
(カ)
P(0)≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(x\right)=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{P\left(x\right)}{x^2}=t^2-4t=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf t=x+\frac{2}{x}=4\ \ \ \left(\because\ t\geqq 2\sqrt2\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-4x+2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=2\pm\sqrt2\end{align*}}$
よって、方程式P(x)=0の実数解のうち最大のものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\underline{\ 2+\sqrt2}\end{align*}}$
(キ)
Cの中心は第1象限にあるので、(-1+r，r)
(ク)(ケ)
Cの方程式は
(x+1-r)2+(y-r)2=r
と表され、これが(5，3)を通るので、
(6-r)2+(3-r)2=r
⇔ r2-18r+45=0
⇔ r=3，15
(コ)
r=3のとき、円Cの中心(2，3)をDとすると、AB⊥ADとなるので、
動点Pが、線分ADと円Cの交点と一致するとき、ABを底辺としたときの
△ABPの高さ3$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ -3は最小となる。
よって、△ABPの面積の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\cdot\left(3\sqrt2-3\right)\cdot\frac{1}{2}=\underline{3-\frac{3}{2}\sqrt2}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/08(土) 02:05:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2017(個別)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
<<
2017関西学院大 理系（個別日程） 数学２ |
ホーム |
2016関西学院大 理系（個別日程） 数学４>>
- トラックバック URL
- http://aozemi.blog.fc2.com/tb.php/2598-9fe2d19e
- この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
