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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017同志社大 理工学部 数学4



第4問

  nを自然数とする。関数f(x) (x≧0) を単調に増加する連続関数とする。
  kを0以上の整数としたとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{\pi k}{2n}\ \ ,\ \ S_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}f\left(x\right)\cos^2n\ xdx\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{x_k}^{x_{k+1}}\cos^2nx\ dx\end{align*}}$ を求めよ.

 (2) Skが不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4n}f\left(x_{k}\right)\end{align*}}$ ≦Sk≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4n}f\left(x_{k+1}\right)\end{align*}}$ を満たすことを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)dx\end{align*}}$ とする。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)\cos^2nx\ dx\end{align*}}$ をIで表せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\cos^2nx-\cos^4nx\right)\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right)dx\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2017/08/22(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2017(理工)
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