第3問
Oを原点とする座標平面上に、P(1，-p)とQ(0，p)という2点をとる。
ただし、pは定数で、p＞0とする。tを任意の実数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\left(2-t\right)\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$
を満たす点Rを考える。次の に当てはまる数または式を解答欄に
記入せよ。
(1) tがすべての実数値をとって変わるとき、点Rは直線y= ア 上にある。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2\end{align*}}$ はtとpを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2\end{align*}}$ = イ と表せる。よって、t= ウ のとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2\end{align*}}$ は最小値 エ をとる。
(3) (2)で答えたt= ウ のとき、3点O、R、(0，2p)を通る円の半径は オ
で、中心は( カ ， キ )である。
(4) (2)で答えたt= ウ のとき、3点O、R、(1，0)を通る放物線とx軸で囲
まれた部分の面積Sをpで表すと、S= ク である。Sはp= ケ のとき、
最小値 コ をとる。
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【解答】
ア -2px+2p イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(4p^2+1\right)t^2-\left(8p^2+4\right)t+4p^2+4\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4p^2+2}{4p^2+1}\end{align*}}$
エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4p^2}{4p^2+1}\end{align*}}$ オ p カ 0 キ p ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4p^2+1}{12p}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
【解説】
(1)
R(x，y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\left(2-t\right)\left(1,p\right)+t\left(0,p\right)=\left(2-t,2p\left(t-1\right)\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=2-t\ ,\ y=2p\left(t-1\right)\end{align*}}$
を得る。これらからtを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2p\left(2-x-1\right)=\underline{\sf -2px+2p}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2&=\sf \left(2-t\right)^2+\bigg\{2p\left(t-1\right)\bigg\}^2\\ &=\sf \underline{\sf \left(4p^2+1\right)t^2-\left(8p^2+4\right)t+4p^2+4}\\ &=\sf \left(4p^2+1\right)\left(t-\frac{4p^2+2}{4p^2+1}\right)^2+\frac{4p^2}{4p^2+1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\sf \frac{4p^2+2}{4p^2+1}}\end{align*}}$ のとき、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2_{min}=\underline{\sf \frac{4p^2}{4p^2+1}}\end{align*}}$
(3)
点(0，2p)をAとおくと、Aは(1)で求めた点Rの軌跡の直線上にあるので、
ORが最小となるとき、OR⊥ARとなる。
よって、OAが△OARの外接円の直径となるので、
半径はp、中心の座標は(0，p)である。
(4)
(2)で求めたtに対するRの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R\left(2-\frac{4p^2+2}{4p^2+1},2p\left(\frac{4p^2+2}{4p^2+1}-1\right)\right)=\left(\frac{4p^2}{4p^2+1},\frac{2p}{4p^2+1}\right)\end{align*}}$
一方、2点O(0，0)、(1，0)を通る放物線（Cとする）は定数a（a≠0）を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=ax\left(x-1\right)\end{align*}}$
と表せる。これが点Rを通るとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2p}{4p^2+1}=a\cdot \frac{4p^2}{4p^2+1}\left(\frac{4p^2}{4p^2+1}-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{4p^2+1}{2p}\end{align*}}$
より、Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{4p^2+1}{2p}x\left(x-1\right)\end{align*}}$
となるので、Cとx軸で囲まれた部分の面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^1-\frac{4p^2+1}{2p}x\left(x-1\right)dx\\ &=\sf \frac{4p^2+1}{12p}\left(1-0\right)^3\\ &=\sf \underline{\sf \frac{4p^2+1}{12p}}\end{align*}}$
p＞0なので、相加相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{4p^2+1}{12p}\\ &=\sf \frac{1}{12}\left(4p+\frac{1}{p}\right)\\ &=\sf \frac{1}{12}\cdot 2\sqrt{4p\cdot\frac{1}{p}}\\ &=\sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、Sの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\underline{\sf \frac{1}{3}}\end{align*}}$
これは、相加相乗平均の等号が成立するときなので、p＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4p=\frac{1}{p}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\underline{\sf \frac{1}{2}}\end{align*}}$
のときである。
(3) OR⊥ARに気づかないと厳しいです。
(4) 6分の1公式を使わないと計算が大変です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/25(日) 02:07:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .京都薬科大 2017
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