第1問
次の に当てはまる数または式を解答欄に記入せよ。
(1) xの2次不等式x2+(k+2)x-(k2-5k+2)＞0の解がすべての実数である
ような定数kの値の範囲は、 ア ＜k＜ イ である。
(2) 白、赤、青の3個のさいころを同時に投げるとき、3個の目の積が奇数に
なるのは ウ とおりで、偶数になるのは エ とおりである。また、
3個の和が奇数になるのは オ とおりで、偶数になるのは カ とお
りである。
(3) 空間に3点A(2，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)をとるとき、三角形ABC
の面積は キ である。また、空間の原点Oから平面ABCへ下した垂線
の長さは ク である。
(4) log102=a、log103=bのとき、次の値をaとbで表せ。
log1012= ケ 、 log23= コ 、 log245= サ
(5) 0≦$\small\sf{\theta}$ ＜2$\small\sf{\pi}$ のとき、方程式 $\small\sf{\begin{align*} \sf 2\tan^2\theta=\frac{3}{1+\cos2\theta}\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ の値は、全部で
シ 個ある。それらの値のうちで、最も大きい値は ス であり、最も
小さい値は セ である。
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【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{5}\end{align*}}$ イ 2 ウ 27 エ 189 オ 108
カ 108 キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{22}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\sqrt{22}}{11}\end{align*}}$ ケ 2a+b コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{a}\end{align*}}$
サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1-a}{3a+b}\end{align*}}$ シ 4 ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5\pi}{3}\end{align*}}$ セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$
【解説】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(k+2\right)^2+4\left(k^2-5k+2\right)<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 25k^2-16k+12=\left(5k-6\right)\left(k-2\right)<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \frac{6}{5}\lt k<2}\end{align*}}$
(2)
積が奇数になるのは、3つとも奇数の目が出るときなので、
33=27通り
目の出方の総数は63=216通りなので、積が偶数になるのは
216-27=189通り
目の和が奇数になるのは、
・奇数+奇数+奇数
・奇数+偶数+偶数
・偶数+奇数+偶数
・偶数+偶数+奇数
の場合なので、
33×4=108通り
目の出方の総数は216通りなので、和が偶数になるのは
216-108=108通り
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\sqrt{2^2+2^2}~2\sqrt2\ \ ,\ \ AC=BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\end{align*}}$
なので、三角形ABcは二等辺三角形である。
底辺ABの中点をHとすると、AB⊥CHより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CH=\sqrt{\left(\sqrt{13}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{11}\end{align*}}$
よって、三角形ABCの面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt2\cdot\sqrt{11}=\underline{\sf \sqrt{22}}\end{align*}}$
求める推薦の長さをhとする。hは四面体OABCにおいて、平面ABCを
底面としたときの高さとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{22}\cdot h \ \ \Leftrightarrow\ \ h=\underline{\sf \frac{3\sqrt{22}}{11}}\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log _{10}12&=\sf \log _{10}2^2\cdot 3\\ &=\sf 2\log _{10}2+\log _{10}3\\&=\sf \underline{\sf 2a+b} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log _{2}3&=\sf \frac{\log _{10}3}{\log _{10}2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{b}{a}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log _{24}5&=\sf \frac{\log _{10}5}{\log _{10}24}\\ &=\sf \frac{\log _{10}\frac{10}{2}}{\log _{10}2^3\cdot 3}\\&=\sf \frac{\log _{10}10-\log _{10}2}{3\log _{10}2+\log _{10}3}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1-a}{3a+b}}\end{align*}}$
(5)
tanとcosの関係、および倍角公式を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\tan^2\theta=\frac{3}{1+\cos2\theta}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\left(\frac{1}{\cos^2\theta}-1\right)=\frac{3}{1+\left(2\cos^2\theta-1\right)}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos^2\theta=\frac{1}{4}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos\theta\pm\frac{1}{2}\end{align*}}$
これを満たす$\scriptsize\sf{\theta}$ （0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ ）は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{\pi}{3}\ ,\ \frac{2\pi}{3}\ ,\ \frac{4\pi}{3}\ ,\ \frac{5\pi}{3}\end{align*}}$
である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/25(日) 02:05:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .京都薬科大 2017
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