第1問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた
の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
(1) 極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}-4}{x-1}\end{align*}}$ が有限な値となるような定数aの値は ア であり、そのときの
極限値は イ である。また、極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2-x}-x\right)\end{align*}}$ の値は ウ である。
(2) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ が、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right|=6\ ,\ \left|\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right|=2\ , \ \left|\overrightarrow{\sf b}\right|=3\end{align*}}$
をみたすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ = エ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|\end{align*}}$ = オ である。任意の実数tについて
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\right|\end{align*}}$ をtを用いて表すと カ となるから、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\right|\end{align*}}$ の最小値は キ
である。
(3) (x+2y)5を展開するとx2y3の係数は ク であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2x-\frac{1}{3x^3}\right)^8\end{align*}}$ を展開すると
定数項は ケ である。また、f(x)=(1+x)100展開式からf’(x)の展開式が
得られ、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{100}\left(-1\right)^{k-1}\cdot k\cdot _{100}C_k=_{100}C_1-2\cdot _{100}C_2+\ldots \ldots -100_{100}C_{100}\end{align*}}$
の値は コ であることがわかる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア -4 イ 2 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ エ 8 オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{11}\end{align*}}$
カ 9t2+16t+11 キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{35}}{3}\end{align*}}$ ク 80 ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1792}{9}\end{align*}}$ コ 0
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 1}\left(a\sqrt{x}-4\right)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}-4}{x-1}\cdot\lim_{x\rightarrow 1}\left(x-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a-4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\sf 4}\end{align*}}$
(イ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 1}\frac{4\sqrt{x}-4}{x-1}&=\sf 4\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ &=\sf 4\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}\\ &=\sf \underline{\sf 2}\end{align*}}$
(ウ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2-x}-x\right)&=\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(x^2-x\right)-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x}\\ &=\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}\\ &=\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1}\\ &=\sf \underline{\sf -\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(エ)(オ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+3^2=6^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+3^2=2^2\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\underline{\sf 8}\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|=\underline{\sf \sqrt{11}}\end{align*}}$
(カ)(キ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\right|^2&=\sf \left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+2t\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+t^2\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2\\ &=\sf \underline{\sf 9t^2+16t+11} \\ &=\sf 9\left(t+\frac{8}{9}\right)^2+\frac{35}{9}\end{align*}}$
これより、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\right|\end{align*}}$ の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{35}{9}}=\underline{\sf \frac{\sqrt{35}}{3}}\end{align*}}$
(ク)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_2x^2\cdot\left(2y\right)^3=\underline{\sf 80x^2y^3}\end{align*}}$
(ケ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _8C_6\left(2x\right)^6\left(-\frac{1}{3x^3}\right)^2=\underline{\sf \frac{1792}{9}}\end{align*}}$
(コ)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(1+x\right)^{100}=\sum_{k=0}^{100}\ _{100}C_kx^k\end{align*}}$
両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=100\left(1+x\right)^{99}=\sum_{k=1}^{100}\ _{100}C_k\cdot kx^{k-1}\end{align*}}$
これにx=-1を代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(-1)=100\left(1-1\right)^{99}=\sum_{k=1}^{100}\ _{100}C_k\cdot k\cdot\left(-1\right)^{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{100}\left(-1\right)^{k-1}\cdot k\cdot\ _{100}C_k=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/08(土) 02:01:00|
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