第3問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=x\log x+\frac{x}{2}\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(1) 不定積分∫f(x)dxを求めよ。
(2) 0＜xにおいて、f(x)＜0となるxの範囲を求めよ。
(3) 0＜x＜1において、$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{x}\end{align*}}$ ＜logx＜xを示せ。
(4) 0＜a＜$\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}}$ とするとき、直線x=aと曲線y=f(x) （x≧a）およびx軸とで
囲まれた部分の面積をS(a)とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\end{align*}}$ S(a)を求めよ。
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【解答】
(1)
部分積分法により
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int f(x)dx&=\sf \int\left(x\log x+\frac{x}{2}\right)dx\\ &=\sf \frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx+\int\frac{x}{2}dx\\ &=\sf \underline{\sf \frac{x^2}{2}\log x}\end{align*}}$
(2)
真数条件よりx＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=x\log x+\frac{x}{2}=x\left(\log x+\frac{1}{2}\right)<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log x<-\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 0\lt x\lt e^{-\frac{1}{2}}}\end{align*}}$
(3)
0＜x＜1の範囲で2つの関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)=\log x+\frac{1}{x}\ \ ,\ \ h\left(x\right)=x-\log x\end{align*}}$
を定義すると、それぞれの導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '\left(x\right)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}<0\end{align*}}$
となるので、これらの関数は単調に減少する。
このことと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(1\right)=h\left(1\right)=1>0\end{align*}}$
より、0＜x＜1で常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)>0\ \ ,\ \ h\left(x\right)>0>0\end{align*}}$
となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{x}<\log x\lt x\end{align*}}$
が成り立つ。
(4)
(2)より、a＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}}$ の範囲で常にf(x)＜0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(a\right)&=\sf -\int_a^{e^{-\frac{1}{2}}}f\left(x\right)dx\\ &=\sf -\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_a^{e^{-\frac{1}{2}}}\ \ \ \ \left(\because\ (1)\right)\\ &=\sf \frac{1}{2}a^2\log a+\frac{1}{4e}\end{align*}}$
ここで(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{a}<\log a\lt a\ \ \Leftrightarrow\ \ -a\lt a^2\log a\lt a^3\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\left(-a\right)=\lim_{a\rightarrow +0}a^3=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}ア^2\log a=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}S\left(a\right)=\underline{\sf \frac{1}{4e}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/01(土) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2017（全学部）
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