第10問
曲線Cは曲線y=-exを平行移動したものとする。Cと曲線y=e-xはx座標が
t （t≧0）である点を共有し、その点で共通の接線を持つとする。Cとx軸と
y軸とで囲まれた部分の面積をS(t)とする。
(１) Cの方程式を求めよ。
(２) S(t)を求めよ。
(３) S(t)が最大となるようなtの値がただ1つ存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
曲線y=-exをx軸方向にp、y軸方向qだけ平行移動した曲線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-e^{x-p}+q\end{align*}}$
と表すことができる。
2曲線はx=tに対応する点で共通の接線を持つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-e^{x-p}+q\right)'=-e^{x-p}\ \ ,\ \ \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -e^{t-p}=-e^{-t}\ \ \Leftrightarrow\ \ t-p=-t\ \ \Leftrightarrow\ \ p=2t\end{align*}}$
2曲線の共有点のx座標がx=tなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -e^{t-p}+q=e^{-t}\ \ \Leftrightarrow\ \ q=e^{t-p}+e^{-t}=2e^{-t}\end{align*}}$
以上より、曲線Cの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf y=-e^{x-2t}+2e^{-t}}\end{align*}}$
(２)
Cのx切片をrとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=-e^{r-2t}+2e^{-t}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf e^{r-2t}=2e^{-t}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r-2t=-t+\log 2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r=t+\log2\end{align*}}$
2曲線の位置関係は右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(t\right)&=\sf \int_0^r\left(-e^{x-2t}+2e^{-t}\right)dx\\ &=\sf \bigg[-e^{x-2t}+2e^{-t}x\bigg]_0^r\\ &=\sf -e^{-t+\log2}+2e^{-t}\left(t+\log2\right)+e^{-2t}\\ &=\sf \underline{\sf e^{-t}\left(e^{-t}+2t-2+2\log2\right)} \end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '\left(t\right)&=\sf -e^{-t}\left(e^{-t}+2t-2+2\log2\right)+e^{-t}\left(-e^{-t}+2\right)\\ &=\sf 2e^{-t}\left(-e^{-t}-t+2-\log2\right) \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\left(t\right)=-e^{-t}-t+2-\log2\ \ \ \left(t\geqq 0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\ '\left(t\right)=e^{-t}-1\leqq 0\end{align*}}$
より、T(t)は単調に減少する。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\left(0\right)=1-\log 2>0\ \ ,\ \ \lim_{t\rightarrow\infty}T\left(t\right)=-\infty\end{align*}}$
なので、中間値の定理より、T(t)=0となるt（＞0）がただ1つ存在する。
この値をaとおくと、0≦t＜aでT(t)＞0、 a＜tでT(t)＜0となる。
S’(t)の符号はT(t)の符号と一致するので、S(t)はt=aで最大値をとり、
題意は示された。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/13(火) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
