第６問
座標平面上の点(a，b)から曲線y=x3-3xに引ける接線の本数をnとする。
(１) n=3をみたすような点(a，b)の範囲を図示せよ。
(２) -3a＜bかつn≦2をみたすように点(a，b)が動くとき、b-3aの最小値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
導関数はy’=3x2-3なので、曲線上の点(t，t3-3t)における接線は
y-(t3-3t)=(3t2-3)(x-t)
と表すことができ、これが点(a，b)を通るので、
b-(t3-3t)=(3t2-3)(a-t)
⇔ 2t3-3at2+3a+b=0 ・・・・・・(*)
(*)の左辺をf(t)とおくと、
f’(t)=6t2-6at=6t(t-a)
となるので、a≠0のとき、f(t)はt=0，aで極値をとる。
曲線y=x3-3xの接線で、2点以上で接するものは存在しないので
n=3となるのは、(*)が異なる3つの実数解をもつときである。
すなわち、f(t)の極大値＞0かつ極小値＜0となればよいので、
f(0)とf(a)は異符号である。
f(0)・f(a)=(3a+b)(-a3+3a+b)＜0
⇔ 「b＞-3a かつ b＜a3-3a」 または
「b＜-3a かつ b＞a3-3a」
これを図示すると、下図のようになる。（境界は含まない）
(２)
-3a＜bかつn≦2を満たすよな(a，b)を図示すると、下図のようになる。。
b-3a=k ⇔ b=3a+k とおくと、これは傾き3、切片kの直線を表し、
上の領域と共有点を持つようにkを変化させたとき、kが最小になるのは、
直線b=3a+kが曲線b=a3-3aのa＞0の部分と接するときである。
(a3-3a)’=3a2-3=3 ⇔ a= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ （＞0）
このとき、
b=($\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )3-3$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$=-$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
なので、kの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_{min}=-\sqrt2-3\sqrt2=\underline{\sf -4\sqrt2}\end{align*}}$
上のようにf(0)・f(a)＜0と処理すると、場合分けする必要がありません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/13(火) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
