第５問
xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。
また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す．記号[ ]をガウス
記号という。以下の問いではNを自然数とする。
(１) nを0≦n≦Nを満たす整数とする。点(n，0)と点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(n,N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right)\end{align*}}$ を結ぶ
線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。
(２) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域（境界を含む）にある
格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。
(３) 曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=N\sin\left(\frac{\pi x}{2N}\right)\end{align*}}$ （0≦n≦N）と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域
（境界を含む）にある格子点の個数をB(N)とおく。(２)のA(N)に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{B\left(N\right)}{A\left(N\right)}\end{align*}}$ を求めよ
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【解答】
(１)
2点を結ぶ線分上にある格子点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(n,0\right),\left(n,1\right),\left(n,2\right),\ldots\ldots ,\left(n,\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\right)\end{align*}}$
なので、その個数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]+1}\end{align*}}$
(２)
nを0≦n≦Nを満たす整数とする。
点(n，0)と点(n，n)を結ぶ線分上にある格子点は
(n，0)、(n，1)、(n，2)，・・・・，(n，n)
なので、その個数は、n+1個である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(N\right)=\sum_{n=0}^N\left(n+1\right)=\sum_{k=1}^{N+1}k=\underline{\sf \frac{1}{2}\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\end{align*}}$
(３)
(１)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B\left(N\right)&=\sf \sum_{n=0}^N\left(\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]+1\right)\\ &=\sf N+1+\sum_{n=0}^N\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\\ &=\sf N+1+\sum_{n=1}^N\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\end{align*}}$
ここで、ガウス記号の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)-1<\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\leqq N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
となり、これがn=1，2，･･･，Nに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^N\left(N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)-1\right)<\sum_{n=1}^N\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\leqq \sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -N+\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)<\sum_{n=1}^N\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\leqq \sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\lt B\left(N\right)\leqq N+1+\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}+\frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)<\frac{B\left(N\right)}{A\left(N\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq \frac{2}{N+2}+\frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
N→∞の極限を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{2}{N+2}=0\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{N^2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\cdot\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{1}{N}\right)\left(1+\frac{2}{N}\right)}\cdot\int_0^1\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cdot\frac{1}{1\cdot 1}\cdot\left[-\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{\pi}\end{align*}}$
はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{B\left(N\right)}{A\left(N\right)}=\underline{\ \frac{4}{\pi}}\end{align*}}$
ガウス記号は不等式で外します。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/07(水) 03:05:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2017
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