第３問
数列{an}が
a1=1、 a2=3
an+2=3an+12-6an+1an+3an2+an+1 （n=1，2，･･･）
を満たすとする。また、bn=an+1-an （n=1，2，･･･）とおく。
以下の問いに答えよ。
(１) bn≧0 （n=1，2，･･･）を示せ。
(２) bn （n=1，2，･･･）の一の位の数が2であることを数学的帰納法を
用いて証明せよ。
(３) a2017の一の位の数を求めよ。
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【解答】
(１)
n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_2-a_1=2>0\end{align*}}$
また、すべての自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+2}-a_{n+1}&=\sf 3a_{n+1}^{\ 2}-6a_{n+1}a_n+3a_n^{\ 2}\\ &=\sf 3\left(a_{n+1}-a_n\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=3b_{n}^{\ 2}\ \geqq 0\end{align*}}$ ･･････(#)
が成り立つので、題意は示された。
(２)
(ⅰ) n=1のときは、b1=2となりOK
(ⅱ) n=kのとき、bkの一の位の数が2であると仮定すると、
自然数ckを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_k=10c_k+2\end{align*}}$
と表すことができる。
(#)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{k+1}&=\sf 3b_k^{\ 2}\\ &=\sf 3\left(10c_k+2\right)\\ &=\sf 300c_k^{\ 2}+120c_k+12\\ &=\sf 10\left(30c_k^{\ 2}+12c_k+1\right)+2\end{align*}}$
となるので、bk+1も一の位の数が2となる。
以上より、任意の自然数nに対して、bnの一の位の数は2である。
(３)
数列{bn}は数列{an}の階差数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2017}&=\sf a_1+\sum_{k=1}^{2016}b_k\\ &=\sf 1+\sum_{k=1}^{2016}\left(10c_k+2\right)\\ &=\sf 1+10\sum_{k=1}^{2016}c_k+4032\\ &=\sf 10\left(\sum_{k=1}^{2016}c_k+403\right)+3\end{align*}}$
よって、a2017の一の位の数は3である。
(#)の変形にさえ気づけば、あとは流れるままです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/07(水) 03:03:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2017
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