第２問
a、b、cを実数とし、$\small\sf{\beta}$ 、mをそれぞれ0＜$\small\sf{\beta}$ ＜1、m＞0を満たす実数とする。
また、関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=$\small\sf{\beta}$ ，-$\small\sf{\beta}$ で極値をとり、f(-1)=f($\small\sf{\beta}$ )=-m、
f(1)=f(-$\small\sf{\beta}$ )=mを満たすとする。
(１) a、b、cおよび$\small\sf{\beta}$ 、mの値を求めよ。
(２) 関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)=x3+px2+qx+rは、-1≦x≦1に対してf(-1)≦$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)≦f(1)を
満たすとする。h(x)=f(x)-$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)とおくとき、h(-1)、h(-$\small\sf{\beta}$ )、h($\small\sf{\beta}$ )、h(1)
それぞれと0との大きさを比較することにより、h(x)を求めよ。
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【解答】
(１)
f(x)の導関数は
f’(x)=3x2+2ax+b
f(x)はx=±$\scriptsize\sf{\beta}$ で極値をとるので、
f($\scriptsize\sf{\beta}$ )=3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+2a$\scriptsize\sf{\beta}$ +b=0
f(-$\scriptsize\sf{\beta}$ )=3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2-2a$\scriptsize\sf{\beta}$ +b=0
これら2式の差をとると、$\scriptsize\sf{\beta}$ ≠0より
4a$\scriptsize\sf{\beta}$ =0 ⇔ a=0
また、2式の和をとると、
6$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+2b=0 ⇔ b=-3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2
これらより、
f(x)=x3-3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2x+c
と表せ、条件より、
f(-1)=f($\scriptsize\sf{\beta}$ )=-m ⇔ -1+3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+c=-2$\scriptsize\sf{\beta}$ 3+c=-m
f(1)=f(-$\scriptsize\sf{\beta}$ )=m ⇔ 1-3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+c=2$\scriptsize\sf{\beta}$ 3+c=m
これら2式の差をとると、c=0 となり、
和をとると、0＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜1より、
2$\scriptsize\sf{\beta}$ 3+2$\scriptsize\sf{\beta}$ 2-1=($\scriptsize\sf{\beta}$ -1)2(2$\scriptsize\sf{\beta}$ -1)=0 ⇔ $\scriptsize\sf{\beta}$ = $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
m=2$\scriptsize\sf{\beta}$ 3= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a=0\ ,\ b=-\frac{3}{4}\ ,\ c=0\ ,\ \beta=\frac{1}{2}\ ,\ m=\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より、h(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)&=\sf f(x)-g(x)\\ &=\sf \left(x^3+\frac{3}{4}x\right)-\left(x^3+px^2+qx+r\right)\\ &=\sf -px^2-\left(q-\frac{3}{4}\right)x-r\end{align*}}$
のように、xについての高々二次式となるので、実定数A、B、Cを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=Ax^2+Bx+C\end{align*}}$
と表せる。
また、題意より-1≦x≦1に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-1\right)\leqq g\left(x\right)\leqq f\left(1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ -m\leqq -g\left(x\right)\leqq m\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(-1\right)=A-B+C=f\left(-1\right)-g\left(-1\right)\leqq m-m=0\ \ \Leftrightarrow\ \ A+C\leqq B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}A-\frac{1}{2}B+C=f\left(1\right)-g\left(1\right)\geqq -m+m=0\ \ \Leftrightarrow\ \ B\leqq \frac{1}{2}A+2C\end{align*}}$
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+C\leqq B\leqq \frac{1}{2}A+2C\ \ \ \ldots\ldots\ldots (i)\end{align*}}$
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(1\right)=A+B+C=f\left(1\right)-g\left(1\right)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\left(A+C\right)\leqq B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}A+\frac{1}{2}B+C=f\left(-1\right)-g\left(-1\right)\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ B\leqq -\left(\frac{1}{2}A+2C\right)\end{align*}}$
となり、これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(A+C\right)\leqq B\leqq -\left(\frac{1}{2}A+2C\right)\ \ \ \ldots\ldots\ldots (ii)\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)を同時に満たすのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+C=B=\frac{1}{2}A+2C=0\ \ \Leftrightarrow\ \ A=B=C=0\end{align*}}$
のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf h\left(x\right)=0\ }\end{align*}}$
(２)の結論は簡単に予想できますが、答案を書くのが面倒です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/07(水) 03:02:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2017
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