第１問
aを正の実数とする。2つの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3}ax^2-2a^2x+\frac{7}{3}a^3\ \ ,\ \ y=-\frac{2}{3}ax^2+2a^2x-\frac{2}{3}a^3\end{align*}}$
のグラフは、2点A、Bで交わる。但し、Aのx座標はBのx座標より小さいとする。
また、2点A、Bを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする。
(１) 2点A、Bの座標をaを用いて表せ。
(２) 直線Lの方程式をaを用いて表せ。
(３) 原点と直線Lの距離dをaを用いて表せ。また、a＞0の範囲でdを最大にする
aの値を求めよ。
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【解答】
(１)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}ax^2-2a^2x+\frac{7}{3}a^3=-\frac{2}{3}ax^2+2a^2x-\frac{2}{3}a^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ax^2-4a^2x+3a^3=a\left(x-a\right)\left(x-3a\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a\ ,\ 3a\end{align*}}$
0＜a＜3aなので、2曲線の交点A、Bの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A\left(a,\frac{2}{3}a^3\right)\ \ ,\ \ B\left(3a,-\frac{2}{3}a^3\right)}\end{align*}}$
(２)
ABの中点Mの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a+3a}{2},\frac{\frac{2}{3}a^3-\frac{2}{3}a^3}{2}\right)=\left(2a,0\right)\end{align*}}$
線分ABの傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-\frac{2}{3}a^3-\frac{2}{3}a^3}{3a-a}=-\frac{2}{3}a^2\end{align*}}$
よって、線分ABの垂直二等分線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-0=\frac{3}{2a^2}\left(x-2a\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 3x-2a^2y-6a=0}\end{align*}}$
(３)
原点とLとの距離dは、a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{\left|0-0-6a\right|}{\sqrt{3^2+\left(-2a^2\right)^2}}=\underline{\ \frac{6a}{\sqrt{9+4a^4}}}\end{align*}}$
分子・分母をaで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{6}{\sqrt{\frac{9}{a^2}+4a^2}}\end{align*}}$
と変形でき、a2＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{a^2}+4a^2\geqq 2\sqrt{\frac{9}{a^2}\cdot 4a^2}=12\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d\leqq\frac{6}{\sqrt{12}}=\sqrt3\end{align*}}$
よって、dが最大値$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ をとるときのa（＞0）の値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{a^2}=4a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{\sqrt6}{2}\ } \end{align*}}$
である。
(３)は、理系の人ならaで微分する手もありますが、文系との共通問題ということを
考えると、相加・相乗は見え見えですね＾＾
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/07(水) 03:01:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2017
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