2017名古屋大 文系数学２

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【解答】

　(１)
　　　時刻0にAにあったPは、時刻1に必ずB、D、Eのいずれかにいるので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=1\ \ ,\ \ q_1=r_1=0\end{align*}}$
　　　時刻1にB、D、EにあったPは、時刻2に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でC、F、Hに移動するので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\underline{\sf 0}\ \ ,\ \ q_2=\underline{\sf \frac{2}{3}}\ \ ,\ \ r_2=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
　　　時刻2にC、F、HにあったPは、時刻3に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でB、D、Eに移動し、
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率でGに移動するので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\underline{\sf \frac{4}{9}}\ \ ,\ \ q_3=\underline{\sf 0}\ \ ,\ \ r_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\sf \frac{2}{9}}\end{align*}}$

　(２)
　　　(１)と同様に考えると、
　　　・時刻nにB、D、EにあったPは、時刻n+1に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でC、F、Hに移動する。
　　　・時刻nにC、F、HにあったPは、時刻n+1に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でB、D、Eに移動し、
　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率でGに移動する。
　　　・時刻nにGにあったPは、時刻n+1には必ずC、F、Hに移動する。

　　　以上より、自然数nに対して、p_n、q_n、r_n、p_n+1、q_n+1、r_n+1の間には、関係式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{2}{3}q_n\ \ ,\ \ q_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+r_n\ \ ,\ \ r_{n+1}=\frac{1}{3}q_n\end{align*}}$
　　　が成り立つ。これらよりp_n+1、r_n+1を消去すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_{n+2}&=\sf \frac{2}{3}p_{n+1}+r_{n+1}\\ &=\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}q_n+\frac{1}{3}q_n\\ &=\sf \frac{7}{9}q_n\end{align*}}$

　　　【q_nについて】
　　　　　nが偶数のとき、q₂=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=\frac{7}{9}q_{n-2}=\left(\frac{7}{9}\right)^2q_{n-4}=\cdots\cdots =\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}q_{2}=\underline{\sf \frac{2}{3}\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-2}{2}}}\end{align*}}$
　　　　　nが奇数のとき、q₃=0より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=\frac{7}{9}q_{n-2}=\left(\frac{7}{9}\right)^2q_{n-4}=\cdots\cdots =\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}q_{3}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$

　　　【p_nについて】
　　　　　nが偶数のとき、n-1は奇数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　nが3以上の奇数のとき、n-1は偶数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf \frac{4}{9}\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}}\end{align*}}$

　　　【r_nについて】
　　　　　nが偶数のとき、n-1は奇数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　nが3以上の奇数のとき、n-1は偶数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf \frac{2}{9}\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}}\end{align*}}$


　(３)
　　　点Pが時刻2mで頂点Aに初めているためには、時刻2m-1まで一度もAに戻らず、
　　　時刻2m-1にB、D、Eにいる必要があり、この状態からAに移動すればよいので、　　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{m}=\frac{1}{3}p_{2m-1}\end{align*}}$
　　　よって、m=1のときは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{m}=\frac{1}{3}p_{1}=\underline{\sf \frac{1}{3}}\end{align*}}$
　　　m≧2のときは(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{m}=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{9}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}=\underline{\sf \frac{4}{27}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}}\end{align*}}$



　　(３)で、場合分けを忘れないように。