第１問
aを正の定数とする。2次関数f(x)=ax２と3次関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)=x(x-4)2について、
次の問に答えよ。
(１) 関数y=$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)について、極値を求め、そのグラフを描け。
(２) 2つの曲線y=f(x)とy=$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)は相異なる3点で交わることを示せ。
(３) 2つの曲線y=f(x)と$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるように
aの値を定めよ。またそのとき、2つの曲線の交点のx座標を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)=x^3-8x^2+16x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '\left(x\right)=3x^2-16x+16=\left(3x-4\right)\left(x-4\right)\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)の増減は次のようになる。
よって、関数y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)のグラフは下図のようになる。
(２)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=g(x)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ax^2=x^3-8x^2+16x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^3-\left(a+8\right)x^2+16x=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\bigg\{x^2-\left(a+8\right)x+16\bigg\}=0\ \ \ \ldots\ldots\ldots (i) \end{align*}}$
ここで二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(a+8\right)x+16=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ii)
の判別式を考えると、a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(a+8\right)^2-64=a^2+16a>0\end{align*}}$
となるので、(ⅱ)は異なる2つの実数解をもつ。
また、(ⅱ)はx=0を解にもたないので、(ⅰ)は異なる3つの実数解をもつ。
よって、2曲線y=f(x)とy=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)は相異なる3点で交わる。
(３)
(ⅱ)の2つの解をp、q（p＜q）とすると、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=a+8>0\ \ ,\ \ pq=16>0\end{align*}}$
となるので、0＜p＜qである。
2曲線の位置関係は右図のようになるので、
囲まれた2つの部分の面積が等しいとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^p\bigg\{g(x)-f(x)\bigg\}dx=\int_p^q\bigg\{f(x)-g(x)\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^p\bigg\{g(x)-f(x)\bigg\}dx+\int_p^q\bigg\{g(x)-f(x)\bigg\}dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^q\bigg\{g(x)-f(x)\bigg\}dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^q\bigg\{x^3-\left(a+8\right)x^2+16x\bigg\}dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}\left(a+8\right)x^3+8x^2\right]_0^q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}q^4-\frac{1}{3}\left(a+8\right)q^3+8q^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3q^2-4\left(a+8\right)q+96=0\ \ \ \ \left(\because\ q\ne 0\right)\ \ \ldots\ldots\ldots (iii)\end{align*}}$
ここで、qは(ⅱ)の解なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q^2-\left(a+8\right)q+16=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+8\right)q=q^2+16\ \ \ldots\ldots\ldots (iv)\end{align*}}$
これを(ⅲ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3q^2-4\left(q^2+16\right)+96=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf q^2=32\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf q=4\sqrt2\ (>0)\end{align*}}$
(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a+8\right)\cdot 4\sqrt2=32+16\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf a=6\sqrt2-8}\end{align*}}$
このとき(ⅰ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\left(x^2-6\sqrt2\ x+16\right)=x\left(x-2\sqrt2\right)\left(x-2\sqrt2\right)=0\end{align*}}$
となるので、2曲線の交点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x=0\ ,\ 2\sqrt2\ ,\ 4\sqrt2}\end{align*}}$
これは完答したい問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:15:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2017
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