第３問
xyz空間の2点A(0，0，2)、P(a，b，0)を通る直線をLとする。また、点
(2，0，0)を中心とし、半径が2である球面をSで表し、Sのうちz座標が
z＞0を満たす部分をTとする。このとき、次の問に答えよ。
(１) L上に点Qがある。実数tを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ =t$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ で定めるとき、点Qの座標をa、b、
tを使って表せ。
(２) LがSと相異なる2点で交わるような実数a、bに関する条件を求め、ab
平面上に図示せよ。
(３) LがTと相異なる2点で交わるような実数a、bに関する条件を求め、ab
平面上に図示せよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}&=\sf \overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf AP}\\ &=\sf \left(0,0,2\right)+t\left(a,b,-2\right)\\ &=\sf \left(at,bt,2-2t\right)\end{align*}}$
より、Qの座標は(at，bt，2-2t)
(２)
球面Sの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-2\right)^2+y^2+z^2=\left(\sqrt2\right)^2\end{align*}}$
であり、(１)で求めたQがS上にあるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(at-2\right)^2+\left(bt\right)^2+\left(2-2t\right)^2=\left(\sqrt2\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2+b^2+4\right)t^2-2\left(2a+4\right)t+6=0\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
SとLが相異なる2点で交わるとき、(*)が異なる2つの実数解を
もてばよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4&=\sf \left(2a+4\right)^2-6\left(a^2+b^2+4\right)\\ &=\sf -2a^2-6b^2+16a-8>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-8a+3b^2+4<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \frac{\left(a-4\right)^2}{12}+\frac{b^2}{4}<1}\end{align*}}$
これをab平面上に図示すると、下図のようになる。
（境界線上の点は含まない）
(３)
点Qのz座標が正のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-2t>0\ \ \Leftrightarrow\ \ t<1\end{align*}}$
TとLが相異なる2点で交わるとき、(*)がt＜1の範囲に異なる2つの実数解を
もてばよい。
(*)の左辺を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(t)&=\sf \left(a^2+b^2+4\right)t^2-2\left(2a+4\right)t+6\\ &=\sf \left(a^2+b^2+4\right)\left(t-\frac{2a+4}{a^2+b^2+4}\right)^2+6-\frac{\left(2a+4\right)^2}{a^2+b^2+4}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(1\right)=\left(a^2+b^2+4\right)-2\left(2a+4\right)+6>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a-2\right)^2+b^2>2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2a+4}{a^2+b^2+4}>1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2+a^2-2a>0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(a-1\right)^2+b^2>1 \end{align*}}$
これと(2)より、求める条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{\left(a-4\right)^2}{12}+\frac{b^2}{4}<1\ \ ,\ \ \left(a-2\right)^2+b^2>2\ \ ,\ \ \left(a-1\right)^2+b^2>1}\end{align*}}$
これをab平面上に図示すると、下図のようになる。
（境界線上の点は含まない）
これは一番とっつきやすい問題ですね。
3曲線はすべて点(±1，1)を通ります。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2017
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