第２問
下図のような立方体を考える。この立方体の8つの頂点の上を点Pが次の
規則で移動する。時刻0では点Pは頂点Aにいる。時刻が1増えるごとに点
Pは、今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する。例えば時
刻nで点Pが頂点Hにいるとすると、時刻n+1では、それぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率で
頂点D、E、Gのいずれかにいる。自然数n≧1に対して、(ⅰ)点Pが時刻n
までの間一度も頂点Aに戻らず、かつ時刻nで頂点B、D、Eのいずれかに
いる確率をpn、(ⅱ)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに戻らず、かつ時刻
nで頂点C、F、Hにいる確率をqn、(ⅲ)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに
戻らず、かつ時刻nで頂点Gにいる確率をrn、とする。このとき、次の問に答
えよ。
(１) p２、q２、r２とp３、q３、r３を求めよ。
(２) n≧2のとき、pn、qn、rnを求めよ。
(３) 自然数m ≧1に対して、点Pが時刻2mで頂点Aに初めている確率smを
求めよ。
(４) 自然数m≧2に対して、点Pが時刻2mで頂点Aに戻るのがちょうど2回目
となる確率をtmとする。このとき、tm＜smとなるmをすべて求めよ。
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【解答】
(１)
時刻0にAにあったPは、時刻1に必ずB、D、Eのいずれかにいるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=1\ \ ,\ \ q_1=r_1=0\end{align*}}$
時刻1にB、D、EにあったPは、時刻2に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でC、F、Hに移動するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\underline{\sf 0}\ \ ,\ \ q_2=\underline{\sf \frac{2}{3}}\ \ ,\ \ r_2=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
時刻2にC、F、HにあったPは、時刻3に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でB、D、Eに移動し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率でGに移動するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\underline{\sf \frac{4}{9}}\ \ ,\ \ q_3=\underline{\sf 0}\ \ ,\ \ r_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\sf \frac{2}{9}}\end{align*}}$
(２)
(１)と同様に考えると、
・時刻nにB、D、EにあったPは、時刻n+1に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でC、F、Hに移動する。
・時刻nにC、F、HにあったPは、時刻n+1に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でB、D、Eに移動し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率でGに移動する。
・時刻nにGにあったPは、時刻n+1には必ずC、F、Hに移動する。
以上より、自然数nに対して、pn、qn、rn、pn+1、qn+1、rn+1の間には、関係式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{2}{3}q_n\ \ ,\ \ q_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+r_n\ \ ,\ \ r_{n+1}=\frac{1}{3}q_n\end{align*}}$
が成り立つ。これらよりpn+1、rn+1を消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_{n+2}&=\sf \frac{2}{3}p_{n+1}+r_{n+1}\\ &=\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}q_n+\frac{1}{3}q_n\\ &=\sf \frac{7}{9}q_n\end{align*}}$
【qnについて】
nが偶数のとき、q2=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=\frac{7}{9}q_{n-2}=\left(\frac{7}{9}\right)^2q_{n-4}=\cdots\cdots =\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}q_{2}=\underline{\sf \frac{2}{3}\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-2}{2}}}\end{align*}}$
nが奇数のとき、q3=0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=\frac{7}{9}q_{n-2}=\left(\frac{7}{9}\right)^2q_{n-4}=\cdots\cdots =\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}q_{3}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
【pnについて】
nが偶数のとき、n-1は奇数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
nが3以上の奇数のとき、n-1は偶数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf \frac{4}{9}\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}}\end{align*}}$
【rnについて】
nが偶数のとき、n-1は奇数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
nが3以上の奇数のとき、n-1は偶数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf \frac{2}{9}\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}}\end{align*}}$
(３)
点Pが時刻2mで頂点Aに初めているためには、時刻2m-1まで一度もAに戻らず、
時刻2m-1にB、D、Eにいる必要があり、この状態からAに移動すればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{m}=\frac{1}{3}p_{2m-1}\end{align*}}$
よって、m=1のときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{m}=\frac{1}{3}p_{1}=\underline{\sf \frac{1}{3}}\end{align*}}$
m≧2のときは(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{m}=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{9}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}=\underline{\sf \frac{4}{27}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}}\end{align*}}$
(４)
時刻を2k（k=1，2，・・・，m-1）に初めてAに戻る確率はskであり、
この状態から時刻2mに2回目にAに戻る確率はsm-kである。
k=1，2，・・・，m-1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t_m&=\sf \sum_{k=1}^{m-1}s_k\ s_{m-k}\\ &=\sf s_1s_{m-1}+s_2s_{m-2}+s_3s_{m-3}+\ldots +s_{m-2}s_2+s_{m-1}s_1\\ &=\sf 2s_1s_{m-1}+\sum_{k=2}^{m-2}s_k\ s_{m-k}\\ &=\sf 2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{27}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-3}+\sum_{k=2}^{m-2}\bigg\{\frac{4}{27}\left(\frac{7}{9}\right)^{k-2}\cdot\frac{4}{27}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-k-2}\bigg\}\\ &=\sf \frac{8}{81}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-3}+\frac{16}{729}\sum_{k=2}^{m-2}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-4}\\ &=\sf \frac{8}{63}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}+\frac{16}{441}\cdot\left(m-3\right)\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}\\ &=\sf \frac{8}{441}\left(2m+1\right)\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t_m\lt s_m&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{8}{441}\left(2m+1\right)\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}<\frac{4}{27}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 6\left(2m+1\right)<49\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf m<\frac{43}{12}\end{align*}}$
これを満たす2以上の整数mの値は
m=2，3
(３)までは文系と共通です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2017
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