第２問
座標平面上に原点O、点A(1，a)、点B(s，t)がある。以下の問いに答えよ。
(１) a=1のとき、△OABが正三角形となるような(s，t)をすべて求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ は無理数であることを証明せよ。
(３) △OABが正三角形であり、aが有理数であるとき、sとtのうち少なくとも1つは
無理数であることを示せ。
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【解答】
(１)
△ABCが正三角形のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=OB&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(s-1\right)^2+\left(t-a\right)^2=s^2+t^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -2s+1-2at+a^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf s=-at+\frac{1+a^2}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・・(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OB=OA\ \ \Leftrightarrow\ \ s^2+t^2=1+a^2\end{align*}}$ ・・・・・・・(ⅱ)
(ⅱ)に(ⅰ)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(-at+\frac{1+a^2}{2}\right)^2+t^2=1+a^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(1+a^2\right)t^2+\left(1+a^2\right)at+\frac{1}{4}\left(1+a^2\right)^2-\left(1+a^2\right)=0\\ &\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-at-\frac{3-a^2}{4}=0\ \ \ \ \left(\because\ 1+a^2\ne 0\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf t=\frac{a\pm\sqrt3}{2}\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots (iii)\end{align*}}$
a=1のとき、(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1\pm\sqrt3}{2}\end{align*}}$
これを(ⅱ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=-\frac{1\pm\sqrt3}{2}+1=\frac{1\mp\sqrt3}{2}\end{align*}}$
よって、求める(s，t)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(s,t\right)=\left(\frac{1\mp\sqrt3}{2},\frac{1\pm\sqrt3}{2}\right)}\end{align*}}$ （複号同順）
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数m、nを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3=\frac{m}{n}\end{align*}}$
と表すことができる。分母を払って、両辺を2乗すると、
3n2=m2
となるので、m2は3の倍数であり、3の倍数でない数の平方は3の倍数とは
ならないので、mも3の倍数である。
よって、m=3M（M：自然数）とおいて代入すると、
3n2=(3M)2 ⇔ n=3M2
となり、n2およびnも3の倍数となるが、これはmとnが互いに素であることに
矛盾する。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ は無理数である。
(３)
(ⅲ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3=\pm\left(2t-a\right)\end{align*}}$
と変形できる。
ここで、tが有理数であると仮定すると、右辺は有理数となるが、
これは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ が無理数であることに矛盾する。
よって、tは無理数である。
無理数であることの証明は背理法を使います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/20(土) 02:02:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2017
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