第５問
2つの複素数$\small\sf{\alpha}$ =10000+10000iとw=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{4}+\frac{1}{4}\ i\end{align*}}$ を用いて、複素数平面上の
点Pn(zn)をzn=$\small\sf{\alpha}$ wn （n=1，2，･･･）により定める。ただし、i は虚数単位
を表す．2と3の常用対数をlog102 =0.301 、log103 =0.477として、以下
の問いに答えよ。
(１) znの絶対値 |zn| と偏角arg znを求めよ。
(２) |zn|≦1が成り立つ最小の自然数nを求めよ。
(３) 下図のように、複素数平面上の△ABCは線分ABを斜辺とし、点C$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{i}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$ を
一つの頂点とする直角三角形である。なおA、Bを表す複素数の虚部は負
であり、原点Oと2点A、Bの距離はともに1である。点Pnが△ABC の内部
に含まれる最小の自然数nを求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、ｗを極形式で表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=10000\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\ \ ,\ \ w=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z_n\right|&=\sf \left|\alpha w^n\right|\\ &=\sf \left|\alpha\right|\left|w\right|^n\\ &=\sf \underline{\sf \frac{10000\sqrt2}{2^n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \arg z_n&=\sf \arg\left(\alpha w^n\right)\\ &=\sf \arg \alpha+n\arg w\\ &=\sf \underline{\sf \left(\frac{1}{4}+\frac{n}{6}\right)\pi}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z_n\right|=\frac{10000\sqrt2}{2^n}\leqq 1\end{align*}}$
両辺の常用対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^n}\leqq\log_{10}1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4+\frac{1}{2}\log_{10}2+n\log_{10}2\leqq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4+0.1505-0.301n\leqq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n\geqq 13.7\ldots\end{align*}}$
よって、これを満たす最小の自然数ｎは、n=14である。
(３)
点Pnが△ABCの内部に含まれるためには、少なくとも|zn|＜1である
必要がある。(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z_{14}\right|=\frac{10000\sqrt2}{2^{14}}\ \ ,\ \ \arg z_{14}=\frac{31}{12}\pi=2\pi+\frac{7}{12}\pi\end{align*}}$
直線OP１4とACとの交点をDとすると、△OCDは
∠COD=15°、∠OCD=45°、∠ODC=120°、OC=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
なので、正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\sin 1210^{\circ}}=\frac{OD}{\sin 45^{\circ}}\ \ \Leftrightarrow\ \ OD=\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^{14}}=4+\frac{1}{2}\log_{10}2-14\log_{10}2=-0.0635\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{1}{2}\log_{10}3=-0.2385\end{align*}}$
底10＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^{14}}>\log_{10}\frac{1}{\sqrt3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{10000\sqrt2}{2^{14}}>\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
となるので、OP14＞OD.
よって、P14は△ABCの外部にある。
n=15のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z_{15}\right|=\frac{10000\sqrt2}{2^{15}}\ \ ,\ \ \arg z_{14}=\frac{11}{4}\pi=2\pi+\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$
直線OP１5とACとの交点をEとすると、△OCEは
∠COE=∠OCE=45°、∠OEC=90°、OC=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OE=OC\sin 45^{\circ}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^{15}}=4+\frac{1}{2}\log_{10}2-15\log_{10}2=-0.3645\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{1}{2}=-\log_{10}2=-0.3010\end{align*}}$
底10＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^{15}}<\log_{10}\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{10000\sqrt2}{2^{15}}<\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、OP15＜OE.
よって、P15は△ABCの内部にあるので、題意を満たす最小の自然数nの値は、
n=15
である。
(３)で、OP14とODの大小を比較する必要がありますが、
与えられているlog103=0.477というのがヒントになってます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/20(土) 01:14:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2017
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