第２問
2つの定数a＞0およびb＞0に対し、座標空間内の4点を
A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，1)、D(a，b，1)
と定める。以下の問いに答えよ。
(１) 点Aから線分CDにおろした垂線とCDの交点をGとする。
Gの座標をa、bを用いて表せ。
(２) さらに、点Bから線分CDにおろした垂線とCDの交点をH
とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AG}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BH}\end{align*}}$ がなす角を$\small\sf{\theta}$ とするとき、cos$\small\sf{\theta}$ をa、b
を用いて表せ。
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【解答】
(１)
GはCD上にあるので、実数tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CG}=t\overrightarrow{\sf CD}=\left(ta,tb,0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\left(ta,tb,1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AG}=\left(ta-a,tb,1\right)\end{align*}}$
AG⊥CDなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AG}\cdot\overrightarrow{\sf CD}=a\left(ta-a\right)+tb^2+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{a^2}{a^2+b^2}\end{align*}}$
よって、点Gの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf G\left(\frac{a^3}{a^2+b^2},\frac{a^2b}{a^2+b^2},1\right)}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AG}=\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}-a,\frac{a^2b}{a^2+b^2},1\right)=\left(-\frac{ab^2}{a^2+b^2},\frac{a^2b}{a^2+b^2},1\right)\end{align*}}$
(１)と同様、HはCD上にあるので、実数sを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\left(sa,sb,1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BH}=\left(sa,sb-b,1\right)\end{align*}}$
BH⊥CDなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BH}\cdot\overrightarrow{\sf CD}=sa^2+b\left(sb-b\right)+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{b^2}{a^2+b^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BH}=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2},\frac{b^3}{a^2+b^2}-b,1\right)=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2},-\frac{ab^2}{a^2+b^2},1\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf AG}\right|=\left|\overrightarrow{\sf BH}\right|&=\sf \sqrt{\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)^2+1}\\ &=\sf \sqrt{\frac{a^4b^2+a^2b^4}{\left(a^2+b^2\right)^2}+1}\\ &=\sf \sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AG}\cdot\overrightarrow{\sf BH}=-\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)^2-\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)^2+1=-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}+1\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}+1}{\left(\sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}+1}\right)^2}=\underline{\sf \frac{-a^2b^2+a^2+b^2}{a^2b^2+a^2+b^2}}\end{align*}}$
これも難しくはありません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/20(土) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2017
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