第１問
定数a＞0に対し、曲線y=atanxの0≦x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の部分をC１、曲線y=sin2x
の0≦x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の部分をC２とする。以下の問いに答えよ。
(１) C１とC２が原点以外に交点をもつためのaの条件を求めよ。
(２) aが(１)の条件を満たすとき、原点以外のC１とC２の交点をPとし、
Pのx座標をpとする。PにおけるC１とC２のそれぞれの接線が直交
するとき、aおよびcos2pの値を求めよ。
(３) aが(２)で求めた値のとき、C１とC２で囲まれた図形の面積を求めよ。
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【解答】
(１)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\tan x=\sin 2x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{a\sin x}{\cos x}=2\sin x\cos x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x\left(2\cos ^2x-a\right)=0\sf \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin x=0\ ,\ \cos^2x=\frac{a}{2}\end{align*}}$
これが0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲に実数解をもつためには0＜cosx＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{a}{2}<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 0\lt a<2}\end{align*}}$
であればよい。
(２)
(１)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos p=\sqrt{\frac{a}{2}}\ \ (>0)\end{align*}}$ ・・・・・・・(*)
C1、C2の導関数はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a\tan x\right)'=\frac{a}{\cos ^2x}\ \ ,\ \ \left(\sin2x\right)'=2\cos2x\end{align*}}$
なので、Pにおける接線の傾きはそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\cos^2p}\ \ ,\ \ 2\cos2p\end{align*}}$
である。題意より、これらの2接線が直交するので、(*)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\cos^2p}\cdot 2\cos2p=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos 2p=-\frac{\cos^2p}{2a}=\underline{\sf -\frac{1}{4}}\end{align*}}$
cosの倍角公式と(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos2p=2\cos^2p-1=a-1=-\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf a=\frac{3}{4}}\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos p=\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt6}{4}\end{align*}}$
C１、C２の位置関係は下図のようになるので、
これらで囲まれる部分の面積をSとすると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^p\left(\sin 2x-\frac{3}{4}\tan x\right)dx\\ &=\sf \int_0^p\left\{\sin 2x+\frac{3}{4}\frac{\left(\cos x\right)'}{\cos x}\right\}dx\\ &=\sf \left[-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{3}{4}\log\left|\cos x\right|\right]_0^p\\ &=\sf -\frac{1}{2}\left(\cos 2p-1\right)+\frac{1}{4}\left(\log \left|\cos p\right|-\log 1\right)\\ &=\sf \underline{\sf \frac{5}{8}+\frac{3}{4}\log\frac{\sqrt6}{4}}\end{align*}}$
これは難しくありません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/20(土) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2017
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