青木ゼミ青木
橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ
2017一橋大 数学５
第５問
xy平面上の直線x=y+1をk、yz平面上の直線y =z+1をL、xz平面上の直線
z=x+1をmとする。直線k上に点P
1
(1，0，0)をとる。L上の点P
2
をP
1
P
2
⊥Lと
なるように定め、m上の点P
3
をP
2
P
3
⊥mとなるように定め、k上の点P
4
をP
3
P
4
⊥kとなるように定める。以下、同様の手順でL、k、m、L、k、m、･･･上の点P
5
、
P
6
、P
7
、P
8
、P
9
、P
1
0
を定める。
(１) 点P
２
、P
３
の座標を求めよ。
(２) 線分P
n
P
n+1
の長さをnを用いて表せ。
解答はこちら↓
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
k、L、mの方向ベクトルをそれぞれ
、
、
とおくと、
(１)
P
2
はL上にあるので、実数a
2
を用いて
と表せる。P
1
P
2
⊥Lより
よって、P
2
の座標は
P
3
はm上にあるので、実数a
3
を用いて
と表せる。P
2
P
3
⊥mより
よって、P
3
の座標は
(２)
(ⅰ) P
n
がk上にあるとき
P
n+1
はL上にあるので、実数a
n
、a
n+1
を用いて
P
n
P
n+1
⊥Lなので、
(ⅱ) P
n
がL上にあるとき
P
n+1
はm上にあるので、実数a
n
、a
n+1
を用いて
P
n
P
n+1
⊥mなので、
(ⅲ) P
n
がm上にあるとき
P
n+1
はk上にあるので、実数a
n
、a
n+1
を用いて
P
n
P
n+1
⊥kなので、
(ⅰ)～(ⅲ)いずれの場合も、a
n
とa
n+1
の間に
・・・・・・・(*)
が成り立つ。(*)は
と変形できるので、数列{a
n
+1}は等比数列をなす。
一方、線分P
n
P
n+1
の長さは(ⅰ)～(ⅲ)のいずれの場合も
よって、
(ⅰ)～(ⅲ)の場合分けが面倒ですが、成分の順番を入れ替えていくだけなので、
あまり頭を使う必要はありません。
解答を閉じる↑
テーマ:
数学
- ジャンル:
学問・文化・芸術
2018/11/15(木) 01:16:00
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