第３問
P(0)=1 、 P(x+1)-P(x)=2xを満たす整式P(x)を求めよ。
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【解答】
P(x)をn次式とすると、
P(x)=axn+bxn-1+f(x)
（a、bは定数、a≠0、f(x)は高々n-2次の整式）
と表すことができる。
二項定理より
P(x+1)=a(x+1)n+b(x+1)n-１+f(x+1)
=a(xn+nxn-1+・・・+1)+b(xn-1+・・・+1)+f(x+1)
なので、
2x=P(x+1)-P(x)=anxn-1+g(x) （g(x)は高々n-2次の整式）
よって、最高次の項の次数と係数を比較すると、
1=n-1 かつ 2=an より n=2、a=1
となるので、P(x)は、x2の係数が1の二次式であり、
P(0)=1なので、定数bを用いて
P(x)=x2+bx+1
と表せる。
P(x+1)-P(x)=(x+1)2+b(x+1)+1-(x2+bx+1)
⇔ 2x=2x+1+b
これが任意のxに対して成り立つので、b=-1．
以上より、題意を満たすP(x)は
P(x)=x2-x+1
である。
まずは次数を決定しましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/15(木) 01:14:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2017
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