第６問
a、b、cを実数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf\left(a,b\right)=\int_0^{\pi/2}e^{ax}\cos bx\ dx\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf J\left(a,b,c\right)=\int_0^{\pi/2}e^{ax}\sin bx\sin cx\ dx\end{align*}}$
とおく。ただし、a≠0とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) I(a，b)を求めよ。
(２) J(a，b，c)を I(a，b+c)と I(a，b-c)を用いて表せ。
(３) 次の極限を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}8\int_0^{\pi/2}e^x\sin tx\sin 2tx\cos 3tx\cos 4tx\ dx\end{align*}}$
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I\sf\left(a,b\right)&=\sf \left[\frac{1}{a}e^{ax}\cos bx\right]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\left(-\frac{b}{a}e^{ax}\sin bx\right)dx\\ &=\sf \frac{1}{a}\left(e^{\frac{\pi a}{2}}\cos\frac{\pi b} {2}-e^0\cos 0\right)+\frac{b}{a}\left\{\left[\frac{1}{a}e^{ax}\sin bx\right]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\frac{b}{a}e^{ax}\cos bx\ dx\right\}\\ &=\sf \frac{1}{a}\left(e^{\frac{\pi a}{2}}\cos\frac{\pi b} {2}-1\right)+\frac{b}{a^2}\left(e^{\frac{\pi a}{2}}\sin\frac{\pi b} {2}-0\right)-\frac{b^2}{a^2}\ \rm I\sf\left(a,b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2+b^2}{a^2}\ \rm I\sf\left(a,b\right)=\frac{1}{a^2}e^{\frac{\pi a}{2}}\left(a\cos\frac{\pi b} {2}+b\sin\frac{\pi b} {2}\right)-\frac{1}{a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I\sf\left(a,b\right)=\underline{\sf \frac{1}{a^2+b^2}e^{\frac{\pi a}{2}}\left(a\cos\frac{\pi b} {2}+b\sin\frac{\pi b} {2}\right)-\frac{a}{a^2+b^2}}\end{align*}}$
(２)
積→和の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf J\left(a,b,c\right)&=\sf \int_0^{\pi/2}e^{ax}\sin bx\sin cx\ dx\\ &=\sf -\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}e^{ax}\bigg\{\cos\left(b+c\right)x-\cos\left(b-c\right)x\bigg\}dx\\ &=\sf -\frac{1}{2}\bigg\{\int_0^{\pi/2}e^{ax}\cos\left(b+c\right)x\ dx-\int_0^{\pi/2}e^{ax}\cos\left(b-c\right)x\ dx\bigg\}\\ &=\sf \underline{\sf -\frac{1}{2}\bigg\{I\left(a,b+c\right)-I\left(a,b-c\right)}\bigg\}\end{align*}}$
(３)
積→和の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin tx\cos 3tx\cdot \sin 2tx\cos 4tx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\sin 4tx-\sin 2tx\right)\cdot\frac{1}{2}\left(\sin 6tx-\sin 2tx\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\sin 6tx\sin 4tx-\sin 6tx\sin 2tx-\sin 4tx\sin 2tx+\sin 2tx\sin 2tx\right)\end{align*}}$
となるので、求める極限値をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf 2\lim_{t\rightarrow\infty}\bigg\{J\left(1,6t,4t\right)-J\left(1,6t,2t\right)-J\left(1,4t,2t\right)+J\left(1,2t,2t\right)\bigg\}\\ &=\sf -\lim_{t\rightarrow\infty}\bigg\{\rm I\sf\left(1,10t\right)-\rm I\sf\left(1,2t\right)-\rm I\sf\left(1,8t\right)+\rm I\sf\left(1,4t\right)-\rm I\sf\left(1,6t\right)+\rm I\sf\left(1,2t\right)+\rm I\sf\left(1,4t\right)-\rm I\sf\left(1,0\right)\bigg\}\\ &=\sf -\lim_{t\rightarrow\infty}\bigg\{\rm I\sf\left(1,10t\right)-\rm I\sf\left(1,8t\right)-\rm I\sf\left(1,6t\right)+2\rm I\sf\left(1,4t\right)-\rm I\sf\left(1,0\right)\bigg\} \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq\cos\frac{\pi b} {2}\leqq 1\ \ ,\ \ -1\leqq\sin\frac{\pi b} {2}\leqq 1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{b\rightarrow\infty}\frac{1}{1+b^2}\cos\frac{\pi b} {2}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{b\rightarrow\infty}\frac{1}{1+b^2}\cdot b\sin\frac{\pi b} {2}=\lim_{b\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{b}+b}\cdot \sin\frac{\pi b} {2}=0\end{align*}}$
よって、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{b\rightarrow\infty}\rm I\sf\left(1,b\right)=\lim_{b\rightarrow\infty}\frac{e^{\frac{\pi }{2}}}{1+b^2}\left(\cos\frac{\pi b} {2}+b\sin\frac{\pi b} {2}\right)-\frac{1}{1+b^2}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf \rm I\sf\left(1,0\right)\\ &=\sf e^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\right)-1\\ &=\sf \underline{\sf e^{\frac{\pi}{2}}-1}\end{align*}}$
計算が面倒ですな。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/29(月) 06:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2017
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