第５問
$\small\sf{\alpha,\beta,\gamma}$ を複素数とし、
$\small\sf{z\overline{\sf z}+\alpha\ z+\beta\ \overline{\sf z}+\gamma=0}$ ・・・・・・・(*)
を満たす複素数zを考える。以下の問いに答えよ。
(１) zは
$\small\sf{(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{\sf z}+\gamma-\overline{\gamma}=0}$
を満たすことを示せ。
(２) $\small\sf{\sf |\alpha|=|\beta|\ne 0}$ と仮定し、またγは負の実数であると仮定する。このとき、
(*)を満たすzがちょうど2個あるための必要十分条件を$\small\sf{\alpha,\beta}$ を用いて
表せ。
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【解答】
(１)
(*)の両辺の共役複素数を考えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\overline{\sf z}z+\overline{\sf \alpha}\overline{\sf z}+\overline{\sf \beta}z+\overline{\sf \gamma}=0\end{align*}}$
これと(*)の両辺の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z\overline{\sf z}+\alpha z+\beta\overline{\sf z}+\gamma-(\overline{\sf z}z+\overline{\sf \alpha}\overline{\sf z}+\overline{\sf \beta}z+\overline{\sf \gamma})=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\alpha-\overline{\sf \beta})z-(\overline{\sf \alpha}-\beta)\overline{\sf z}+\gamma-\overline{\sf \gamma}=0\end{align*}}$ ・・・・・・・(#)
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \gamma\end{align*}}$ は実数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \gamma=\overline{\sf \gamma}\end{align*}}$
よって、(１)の(#)式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (\alpha-\overline{\sf \beta})z-(\overline{\sf \alpha}-\beta)\overline{\sf z}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\alpha-\overline{\sf \beta})z=(\overline{\sf \alpha}-\beta)\overline{\sf z}= \overline{\left(\alpha-\overline{\beta}\right)z}\end{align*}}$
と変形できるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (\alpha-\overline{\sf \beta})z\end{align*}}$ は実数である。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\overline{\sf \beta}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*) \ \ \Leftrightarrow\ \ z\overline{\sf z}+\overline{\sf \beta}z+\beta\overline{\sf z}+\gamma=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (z+\beta)(\overline{\sf z}+\overline{\sf \beta})=\beta\overline{\sf \beta}-\gamma\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |z+\beta|^2=|\beta|^2-\gamma\gt 0 （\because\ \gamma\lt 0）\end{align*}}$
となるので、zは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\beta\end{align*}}$を中心とする半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{|\beta |^2-\gamma}\end{align*}}$ の円周上を動く。
よって、(*)を満たすzは無数にあるので不適。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha≠\overline{\sf \beta}\end{align*}}$ のとき
zは実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\alpha-\overline{\beta}\right)z=k\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{k}{\alpha-\overline{\beta}}\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{k}{\alpha-\overline{\beta}}\cdot\frac{k}{\overline{\alpha}-\beta}+\frac{k\alpha}{\alpha-\overline{\beta}}+\frac{k\beta}{\overline{\alpha}-\beta}+\gamma=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+k{\alpha(\overline{\sf \alpha}-\beta)+\beta(\alpha-\overline{\sf \beta})}+\gamma|\alpha-\overline{\sf \beta}|=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+k(\alpha\overline{\sf \alpha}-\beta\overline{\sf \beta})+\gamma|\alpha-\overline{\sf \beta}|=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+k(|\alpha|^2-|\beta|^2)+\gamma|\alpha-\overline{\sf \beta}|=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2=-\gamma|\alpha-\overline{\sf \beta}| (∵ |\alpha|=|\beta|)\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \gamma\lt 0\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha\ne\overline{\sf \beta}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\pm\sqrt{-\gamma}\ | \alpha-\overline{\beta}|\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{\sqrt{-\gamma}\ |\alpha-\overline{\beta}|}{\alpha-\overline{\beta}}\end{align*}}$
となるので、(*)をみたすzはちょうど2個存在する。
(ⅰ)、(ⅱ)より、求める条件は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha≠\overline{\sf \beta}\end{align*}}$ である。
医学科以外の受験生は、(２)は捨てましょうｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/29(月) 05:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2017
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