第３問
a、b、cを1以上7以下の互いに異なる整数とする。
(１) 2次方程式ax２+bx+c=0が有理数解をもつような組(a，b，c)の
総数を求めよ。
(２) 2次方程式ax２+bx+c=0が少なくとも一つの整数解をもつような
組(a，b，c)の総数を求めよ。
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【解答】
(１)
二次方程式ax２+bx+c=0の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}}$
これが有理数になるためには、根号の中が平方数であればよいので、
0以上の整数nを用いて、b2-4ac=n2と表せる。
このとき、
n2=b2-4ac≧0 ⇔ b2≧4ac≧8
より、b=3，4，5，6，7である。
また明らかにb＞nであり、bとnの偶奇は一致する。
よって、a、b、cの値の組(a，b，c)は
(ⅰ) b=3のとき
32-4ac=12 ⇔ ac=2
⇔ (a，b，c)=(1，3，2)、(2，3，1)
(ⅱ) b=4のとき
42-4ac=22 ⇔ ac=3
⇔ (a，b，c)=(1，4，3)、(3，4，1)
42-4ac=02 ⇔ ac=4
これを満たすa、cは存在しない
(ⅲ) b=5のとき
52-4ac=32 ⇔ ac=4
⇔ (a，b，c)=(1，5，4)、(4，5，1)
52-4ac=12 ⇔ ac=6
⇔ (a，b，c)=(1，5，6)、(6，5，1)、(2，5，3)、(3，5，2)
(ⅳ) b=6のとき
62-4ac=42 ⇔ ac=5
⇔ (a，b，c)=(1，6，5)、(5，6，1)
62-4ac=22 ⇔ ac=8
⇔ (a，b，c)=(2，6，4)、(4，6，2)
62-4ac=02 ⇔ ac=9
これを満たすa、cは存在しない
(ⅴ) b=7のとき
72-4ac=52 ⇔ ac=6
⇔ (a，b，c)=(1，7，6)、(6，7，1)、(2，7，3)、(3，7，2)
72-4ac=32 ⇔ ac=10
⇔ (a，b，c)=(2，7，5)、(5，7，2)
72-4ac=12 ⇔ ac=12
⇔ (a，b，c)=(2，7，6)、(6，7，2)、(3，7，4)、(4，7，3)
これらの総数は、24通りある。
(２)
(a，b，c)=(1，5，6)のとき
x2+5x+6=(x+2)(x+3)=0 となり整数解x=-2，-3をもつ
(a，b，c)=(6，5，1)のとき
6x2+5x+1=(2x+1)(3x+1)=0 となり整数解をもたない
(a，b，c)=(2，7，3)のとき
2x2+7x+3=(x+3)(2x+1)=0 となり整数解x=-3をもつ
(a，b，c)=(3，7，2)のとき
3x2+7x+2=(x+2)(3x+1)=0 となり整数解x=-2をもつ
(a，b，c)=(2，7，6)のとき
2x2+7x+6=(x+2)(2x+3)=0 となり整数解x=-2をもつ
(a，b，c)=(6，7，2)のとき
6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)=0 となり整数解をもたない
(１)の24通りのうち、これ以外の場合はすべてa-b+c=0を満たすので、
方程式ax2+bx+c=0は整数解x=-1をもつ。
よって、題意を満たすようなa、b、cの組は22通りある。
ひたすら書き上げていきましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/29(月) 03:03:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2017
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