第１問
a、bを実数とする。y=|x２-4|で表される曲線をCとし、y=ax+bで
表される直線をLとする。
(１) Lが点(-2，0)を通り、LとCがちょうど3つの共有点をもつような
a、bの条件を求めよ。
(２) LとCがちょうど3つの共有点をもつような点(a，b)の軌跡をab
平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Lが点(-2，0)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-2a+b\ \ \Leftrightarrow\ \ b=2a\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_1\left(x\right)=x^2-4\ \ \ \ \left(x<-2\ ,\ 2\lt x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_2\left(x\right)=-x^2+4\ \ \ \ \left(-2\leqq x\leqq 2\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_2 '\left(x\right)=-2x\ \ ,\ \ f_2\ '\left(-2\right)=4\end{align*}}$
なので、0＜a＜4であれば、LはCと3つの共有点を持つ（図１）。
以上より、求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf b=2a\ \ ,\ \ 0\lt a<4}\end{align*}}$
(２)
Lが点(2，0)を通り、LとCがちょうど3つの共有点をもつための条件は、
(１)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-2a\ \ ,\ \ -4\lt a<0\end{align*}}$
となる（図２）。
一方、図3のようにLとy=f2(x)が接するときも、LとCがちょうど3つの
共有点をもつことになる。2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2+4=ax+b\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+ax+b-4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+b-4=0\end{align*}}$
となり、これが-2＜x＜2の範囲に重解を持てばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2}{4}+b-4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{a^2}{4}+4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2<-\frac{a}{2}<2\ \ \Leftrightarrow\ \ -4\lt a<4\end{align*}}$
これらを満たす点(a，b)の軌跡を図示すると下図のようになる。
（ただし、白丸の点は除く）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/29(月) 02:01:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
