第３問
aを3で割り切れない正の整数とする。aを3で割ったときの商をb、
余りをcとする。次の問いに答えよ。
(１) c=2のとき、2a+1=as+3 を満たす負でない整数s、tをbを用
いて表せ。
(2) nをn≧2a-2を満たす整数とする。このときn=as+3tを満たす
負でない整数s、tが存在することを示せ。
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【解答】
題意より、
a=3b+c (b≧0、 c=1，2)
(１)
c=2のとき
2a+1=as+3t ⇔ 2(3b+2)+1=(3b+2)s+3t
⇔ 3{b(s-2)+t}=5-2s ・・・・・・・(*)
・s=0のとき
(*) ⇔ 3(t-2b)=5
となり、左辺は3の倍数であるが、右辺は3の倍数ではないので不適
・s=1のとき
(*) ⇔ 3(t-b)=3 t=b+1 ＞0
・s=2のとき
(*) ⇔ 3t=1
となり、これを満たす整数tは存在しない
・s≧3のとき
(*)の左辺=3(b+t) ＞0
(*)の右辺=5-6＜0
となり矛盾する。
以上より、題意を満たすs、tは、s=1、t=b+1である。
(２)
「n=as+3tを満たす負でない整数s、tが存在する」・・・・・・・(A)
が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=2a-2のとき
2a-2=as+3t ⇔ 2(3b+c)-2=(3b+c)s+3t
⇔ 3{(s-2)b+t}=(s-2)c+2
・c=1のとき
3{(s-2)b+t}=s となり、s=0、t=2b はこれを満たす
・c=2のとき
3{(s-2)b+t}=2(s-1) となり、s=1、t=b はこれを満たす
(ⅱ) n=2a-1のとき
2a-1=as+3t ⇔ 3{(s-2)b+t}=(s-2)c+1
・c=1のとき
3{(s-2)b+t}=s-1 となり、s=1、t=b はこれを満たす
・c=2のとき
3{(s-2)b+t}=2s-3 となり、s=0、t=2b-1 はこれを満たす。
（∵b≧1より2b-1＞0）
(ⅲ) n=2aのとき
2a=as+3t ⇔ 3{(s-2)b+t}=(s-2)c
となり、s=2、t=b はこれを満たす
(ⅳ) n=Nで(*)が成り立つと仮定すると、
N=as0+3t0を満たす負でない整数s0、t0が存在する。
n=N+3のとき
N+3=as0+3t0+3
=as0+3(t0+1)
となるので、s=s0、t=t0+1とすれば(A)を満たす。
以上より、n≧2a-2であるすべての整数nに対して、n=as+3tを満たす
負でない整数s、tが存在する
(２)は捨て問題ですかねｗ？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/29(月) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2017
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