第２問
p、qを実数とする。関数f(x)=x2+px+qの-1≦x≦2における最小値が
0以上となる点(p，q)全体からなる領域をDとする。以下の問いに答えよ。
(１) pq平面上に領域Dを図示せよ。
(２) Dの点(p，q)でq≦5を満たすものの全体のなす図形の面積を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}+q\end{align*}}$
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 2<-\frac{p}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ p<-4\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{min}=f(2)=4+2p+q\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ q\geqq -2p-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ -1\leqq -\frac{p}{2}\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ -4\leqq p\leqq 2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{min}=f\left(-\frac{p}{2}\right)=-\frac{p^2}{4}+q\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ q\geqq \frac{p^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ -\frac{p}{2}<-1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\lt p\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{min}=f(-1)=1-p+q\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ q\geqq p-1\end{align*}}$
これらを図示すると、下図のようになる。
(２)
Dの点(p，q)でq≦5を満たすものの全体のなす図形は下図のようになる。
赤色の三角形の面積
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\end{align*}}$
水色部分の面積
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-4}^2\left(5-\frac{p^2}{4}\right)dp= \left[5p-\frac{p^3}{12}\right]_{-4}^2=24\end{align*}}$
緑色の三角形の面積
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=8\end{align*}}$
以上より、求める面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}+24+8=\underline{\sf \frac{129}{4}}\end{align*}}$
これも難しくありません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/29(月) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2017
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