青木ゼミ青木2017東京工業大　数学３

2017東京工業大　数学３

第３問

　　aを1以上の実数とする。図のような長方形の折り紙ABCDが机の上に
　　置かれている。ただしAD=1、AB=aである。Pを辺AB上の点とし、
　　AP=xとする。頂点Dを持ち上げてPと一致するように折り紙を一回折った
　　とき、もとの長方形ABCDからはみ出る部分の面積をSとする。

　(１) Sをaとxで表せ。

　(２) a=1とする。PがAからBまで動くとき、Sを最大にするようなxの値を
　　　求めよ。
　　　なお配布された白紙を自由に使ってよい。（白紙は回収しない。）

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　DがPに重なるように折ったときの折り目は線分DPの垂直二等分線である。
　　　これをLとする。

　　　(ⅰ) LがAを通るとき
　　　　　　図より、AD=APよりx=1であり、このときS=0
　　　　　　　

　　　(ⅱ) LがCを通るとき　
　　　　　　図より、S=0であり、このときのxの値をx₀とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PC=DC=a\ \ ,\ \ PB=a-x_0\end{align*}}$
　　　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+1^2=\left(a-x_0\right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x_0=a-\sqrt{a^2-1}\ \ \ \left(\because\ x_0\leqq a\right)\end{align*}}$
　　　　　　　

　　　(ⅲ) 0≦x＜x₀のとき
　　　　　　Lは辺AD、BCと交わり、その交点をそれぞれE、Fとする。
　　　　　　また、LについてCと対称な点をC’、PC’とBCの交点をGとする。
　　　　　　∠PDA=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=\frac{AP}{\ AD}=x\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 2\theta=\frac{2tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\frac{2x}{1-x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta=1+x^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos^2\theta=\frac{1}{1+x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos 2\theta&=\sf 2\cos^2\theta-1\\ &=\sf \frac{2}{1+x^2}-1\\ &=\sf \frac{1-x^2}{1+x^2}\end{align*}}$
　　　　　　DE=PEと△AEP∽△BPG∽△C’FGより
　　　　　　　　∠AEP=∠BPG=∠C’FG=2$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PG=\frac{PB}{\cos 2\theta}=\frac{\left(1+x^2\right)\left(a-x\right)}{1-x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf GC'&=\sf PH-PG\\ &=\sf a-\frac{\left(1+x^2\right)\left(a-x\right)}{1-x^2}\\ &=\sf \frac{x^3-2ax^2+x}{1-x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf FC'=\frac{GC'}{\tan 2\theta}=\frac{x^3-2ax^2+x}{2x}\end{align*}}$
　　　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle FGC'\\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3-2ax^2+x}{1-x^2}\cdot\frac{x^3-2ax^2+x}{2x}\\ &=\sf \frac{x\left(x^2-2ax+1\right)^2}{4\left(1-x^2\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　

　　　(ⅳ) x₀＜x≦1のとき
　　　　　　Lは辺AD、DCと交わり、図よりS=0
　　　　　　　

　　　(ⅴ)1＜x≦aのとき
　　　　　　Lは辺AD、BCと交わり、その交点をそれぞれQ、Rとする。
　　　　　　また、LについてAと対称な点をA’とする。
　　　　　　∠APD=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=\frac{ AD}{AP}=\frac{1}{x}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 2\theta=\frac{\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{2x}{x^2-1}\end{align*}}$
　　　　　　QD=QPより、∠AQD=∠A’QP=2$\scriptsize\sf{\theta}$ なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A'Q=AQ=\frac{ AD}{\tan 2\theta}=\frac{x^2-1}{2x}\end{align*}}$
　　　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle A'QP\\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\frac{x^2-1}{2x}\\ &=\sf \frac{x^2-1}{4x}\end{align*}}$
　　　　　　　

　　　(ⅰ)～(ⅴ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf S=\left\{\begin{matrix}\sf \frac{x\left(x^2-2ax+1\right)^2}{4\left(1-x^2\right)}&\sf \left(0\leqq x\lt a-\sqrt{a^2-1}\right)\\ \sf 0&\sf \left(a-\sqrt{a^2-1}\leqq x\leqq 1\right)\\ \sf \frac{x^2-1}{4x}&\sf \left(1\lt x\leqq a\right)\end{matrix}.\right.}\end{align*}}$

　(２)
　　　a=1のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_0=1-\sqrt{1-1}=1\end{align*}}$
　　　なので、(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{x\left(x^2-2x+1\right)^2}{4\left(1-x^2\right)}=\frac{-x^4++3x^3-3x^2+x}{4\left(1+x\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dS}{dx}&=\sf \frac{\left(-4x^3+9x^2-6x+1\right)\left(1+x\right)-\left(-x^4+3x^3-3x^2+x\right)}{4\left(1+x\right)^2}\\ &=\sf \frac{-3x^4+2x^3+6x^2-6x+1}{4\left(1+x\right)^2}\\ &=\sf \frac{\left(x-1\right)^2\left(-3x^2-4x+1\right)}{4\left(1+x\right)^2}\end{align*}}$
　　　Sの増減は次のようになるので、Sを最大にするxの値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x=\frac{-2+\sqrt7}{3}}\end{align*}}$
　　　である。

　　　

　　これまたヘビーな問題ですね・・・。
　　(１)ができなくても、(２)だけ解くこともできます。　　

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