(１)
　　　2×2行列の単位行列をE、零行列をOとすると、
　　　ハミルトン・ケーリーの定理より
　　　　　　A²－(a+d)A+(ad－bc)E=O ･･････①
　　　(ⅰ)より a+d=ad－bc=0なので
　　　　　　A²=Oとなる。

　(２)
　　　ad－bc≠0と仮定すると、Aの逆行列Ａ^-1が存在し、
　　　Aⁿ=Oの両辺にA^-1をn回かけると、
　　　E=O となるので矛盾する。
　　　よって、
　　　　　　ad－bc=0

　(３)
　　　Aⁿ=Oのとき、ad－bc=0となることは (２) で証明済みなので、
　　　a+d=0となることを示せばよい。
　　　①より　　　　　　　
　　　　　　A²=(a+d)A ･･････②

　　　n=1のときは、A=Oとなり明らか
　　　n≧2のとき、
　　　　　　Aⁿ=A²･A^n-2
　　　　　　　　=(a+d)A･A^n-2　　←②より
　　　　　　　　=(a+d)A²･A^n-3
　　　　　　　　=(a+d)²A･A^n-3　　←②より
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \vdots\end{align*}}$
　　　　　　　　=(a+d)ⁿA=O
　　　よって、a+d=0またはA=O

　　　いずれの場合もa+d=0となるので、題意は示された。


　　　これも落とせない問題ですね。