第１問
次の条件(ⅰ)、(ⅱ)をともに満たす正の整数Nをすべて求めよ。
(ⅰ) Nの正の約数は12個
(ⅱ) Nの正の約数を小さい方から順に並べたとき、7番目の数が12
ただし、Nの約数には1とNも含める。
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【解答】
Nは12を約数にもつので、12の約数1，2，3，4，6も約数にもつ。
条件(ⅱ)より、12は小さい方から7番目なので、12より小さいNの約数が
1，2，3，4，6以外にただ1つ存在する。
・Nが5を約数にもつとき
N=2p・3q・5r
(pは2以上の整数、qとrは1以上の整数)
と表せる。このとき、Nは10も約数にもつので不適。
・Nが7を約数にもつとき
N=2p・3q・7r
(pは2以上の整数、qとrは1以上の整数)
と表せる。このとき、条件(ⅰ)より
(p+1)(q+1)(r+1)=12 ⇔ p=2、q=r=1
となるので、N=22・3・7=84
・Nが8を約数にもつとき
N=2p・3 (pは3以上の整数)
【Nが9を約数にもってはならないので素因数3の指数は1である！】
と表せる。このとき、条件(ⅰ)より
(p+1)(1+1)=12 ⇔ p=5
となるので、N=25・3=96
・Nが9を約数にもつとき
N=22・3q (qは2以上の整数)
【Nが8を約数にもってはならないので素因数2の指数は2である！】
と表せる。このとき、条件(ⅰ)より
(2+1)(q+1)=12 ⇔ q=3
となるので、N=22・33=108
・Nが11を約数にもつとき
N=2p・3q・11r
(pは2以上の整数、qとrは1以上の整数)
と表せる。このとき、条件(ⅰ)より
(p+1)(q+1)(r+1)=12 ⇔ p=2、q=r=1
となるので、N=22・3・11=132
以上より、N=84，96，108，132
1，2，3，4，6もNの約数になるので、12より小さい約数がこれら以外に
1つだけ存在することに気づけば、あとはシラミつぶし的に探していくだけです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/18(日) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2017
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