第５問
座標平面上の3点A(1，0)、B(3，1)、C(2，2)を頂点とする。△ABCの
内部および境界をTとおく。実数aに対して、条件
AP2+BP2+CP2≦a
を満たす座標平面上の点Pの全体をDとする。ただし、APは点Aと点Pの
距離を表す。
(１) Dが少なくとも1つの点Pを含むようなaの値の範囲を求めよ。
(２) DがTを含むようなaの値の範囲を求めよ。
(３) (1)のもとで、DがTに含まれるようなaの値の範囲を求めよ。
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【解答】
(１)
点Pの座標を(x，y)とおくと、Dは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2+BP^2+CP^2\leqq a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \big\{\left(x-1\right)^2+y^2\big\}+\big\{\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2\big\}+\big\{\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2\big\}\leqq a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+y^2-4x-2y\leqq\frac{a-19}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\leqq \frac{a-4}{3}\end{align*}}$ ・・・・・・・(*)
x、yは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\geqq 0\end{align*}}$
よって、(*)を満たす実数x、yが存在するための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a-4}{3}\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 4\leqq a}\end{align*}}$
(２)
(１)の条件を満たすとき、(*)は点(2，1)（P0とする）を中心とする
半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{a-4}{3}}\end{align*}}$ の円の周および内部を表す。
DがTを含むためには、Tの3頂点がすべてD内に含まれていればよい。
点A
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-2\right)^2+\left(0-1\right)^2\leqq\frac{a-4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 10\end{align*}}$
点B
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(3-2\right)^2+\left(1-1\right)^2\leqq\frac{a-4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 7\end{align*}}$
点C
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2-2\right)^2+\left(2-1\right)^2\leqq\frac{a-4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 7\end{align*}}$
これらをすべて満たすようなaの値の範囲は、a≧10である。
(３)
DがTに含まれるとき、3直線AB、BC、CAはすべてDの外部にある。
すなわち、P0から各直線までの距離≧Dの半径であればよい。
直線AB：x-2y-1=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|2-2-1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}\geqq\sqrt{\frac{a-4}{3}}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{23}{5}\end{align*}}$
直線BC：x+y-4=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|2+1-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}\geqq\sqrt{\frac{a-4}{3}}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{11}{2}\end{align*}}$
直線CA：2x-y-2=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|4-1-2\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}\geqq\sqrt{\frac{a-4}{3}}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{23}{5}\end{align*}}$
(１)のもとで、これらをすべて満たすようなaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 4\leqq a\leqq\frac{23}{5}}\end{align*}}$
である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2017
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