第３問
複素数平面上に3点O、A、Bを頂点とする△OABがある。ただし、
Oは原点とする。△OABの外心をPとする。3点A、B、Pが表す
複素数を、それぞれ$\small\sf{\alpha,\beta,z}$ とするとき、
$\small\sf{\alpha\beta=z}$
が成り立つとする。
(１) 複素数$\small\sf{\alpha}$ の満たすべき条件を求め、点A($\small\sf{\alpha}$ )が描く図形を
複素数平面上に図示せよ。
(２) 点P(z)の存在範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。
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【解答】
(１)
Pは△OABの外心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP=BP&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |z|=|z-\beta| \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |\alpha\beta|=|\alpha\beta-\beta\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |\alpha||\beta|=|\alpha-1||\beta|\\&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |\alpha|=|\alpha-1|\ \ \ \ (\because\ \beta\ne 0)\end{align*}}$
これより、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は複素平面上で2点0、1から等距離にある点である。
よって、$\scriptsize\sf{\alpha}$ の実部は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、A($\scriptsize\sf{\alpha}$ )の描く図形は下図のようになる。
(２)
(１)と同様に、$\scriptsize\sf{\beta}$ の実部も$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、異なる2つの実数a、bを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{1}{2}+ai\ \ ,\ \ \beta=\frac{1}{2}+bi\end{align*}}$
と表せる。z=x+yi（x,yは実数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\alpha\beta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x+yi&=\sf \left(\frac{1}{2}+ai\right)\left(\frac{1}{2}+ai\right)\\ &=\sf \frac{1}{4}-ab+\frac{a+b}{2}i\end{align*}}$
両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{4}-ab\ \ \Leftrightarrow\ \ ab=\frac{1}{4}-x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a+b}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a+b=2y\end{align*}}$
解と係数の関係より、a、bはtについての方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-2yt+\frac{1}{4}-x=0\end{align*}}$
の2解となる。
a、bが実数であることと、a≠bより判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=y^2-\left(\frac{1}{4}-x\right)>0 \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf x>-y^2+\frac{1}{4}}\end{align*}}$
これを複素平面上に図示すると下図のようになる。
（ただし、境界線上の点は含まない）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2017
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