第２問
関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=1+\sin x-x\cos x\end{align*}}$ について、以下の問いに答えよ。
(１) f(x)の0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ における増減を調べ、最大値と最小値を求めよ。
(２) f(x)の不定積分を求めよ。
(３) 次の定積分の値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}\left|f(x)\right|dx\end{align*}}$
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【解答】
(１)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\cos x-\left(\cos x-x\sin x\right)=x\sin x\end{align*}}$
となるので、
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲ではf’(x)≧0となり、f(x)は単調増加
$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲ではf’(x)≦0となり、f(x)は単調減少
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(0\right)=1\ \ ,\ \ f\left(\pi\right)=1+\pi\ \ ,\ \ f\left(2\pi\right)=1-2\pi\end{align*}}$
なので、f(x)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)_{max}=f\left(\pi\right)=\underline{\sf 1+\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)_{min}=f\left(2\pi\right)=\underline{\sf 1-2\pi}\end{align*}}$
(２)
部分積分法を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int f(x)dx&=\sf \int\left(1+\sin x-x\cos x\right)dx\\ &=\sf x-\cos x-\bigg\{x\sin x-\int \sin xdx\bigg\}\\ &=\sf \underline{\sf x-2\cos x-x\sin x+C}\end{align*}}$ (C：積分定数）
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=1-1+0=0\end{align*}}$
であることと、(１)で調べた増減より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でf(x)≧0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{2}\leqq x\leqq 2\pi\end{align*}}$ の範囲でf(x)≦0
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{2\pi}\left|f(x)\right|dx&=\sf \int_0^{\frac{3\pi}{2}}f(x)dx+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\left(-f(x)\right)dx\\ &=\sf \bigg[x-2\cos x-x\sin x\bigg]_0^{\frac{3\pi}{2}}-\bigg[x-2\cos x-x\sin x\bigg]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\\ &=\sf \underline{\sf 4\pi +4}\end{align*}}$
これは完答しましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2017
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