第４問
a、bを実数とし、関数f(x)が
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+\left(a^2-b\right)x+\int_{-1}^1f(t)dt\end{align*}}$
を満たすとする。
(１) f(0)の値をaを用いて表せ。
(２) 関数f(x)がx＞1の範囲で極大値を持つとする。このようなa、bが満たす
条件を求めよ。また、点P(a，b)の存在範囲を座標平面上に図示せよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\int_{-1}^1f(t)dt\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+\left(a^2-b\right)x+c\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c&=\sf \int_{-1}^1\left\{\frac{1}{3}t^3-at^2+\left(a^2-b\right)t+c\right\}dt\\ &=\sf 2\int_{0}^1\left(-at^2+c\right)dt\\ &=\sf 2\left[-\frac{a}{3}t^2+ct\right]_0^1\\ &=\sf 2\left(-\frac{a}{3}+c\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=\frac{2}{3}a\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+\left(a^2-b\right)x+\frac{2}{3}a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=\underline{\sf \frac{2}{3}a}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=x^2-2ax+a^2-b=\left(x-a\right)^2-b\end{align*}}$
f(x)がx＞1の範囲に極大値を持つのは、方程式f’(x)=0がx＞1の
部分に異なる2つの実数解を持つときである。
放物線y=f’(x)が右図のようになればよいので、
判別式 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=a^2-\left(a^2-b\right)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ b>0\end{align*}}$
軸 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a>1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(1)=1-2a+a^2-b>0\ \ \Leftrightarrow\ \ b>\left(a-1\right)^2\end{align*}}$
よって、求める条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a>1\ \ ,\ \ b>0\ \ ,\ \ b>\left(a-1\right)^2}\end{align*}}$
であり、これを図示すると下図のようになる。
（境界上の点は含まない）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2017
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