第３問
正四面体ABCDの頂点を移動する点Pがある。点Pは、1秒ごとに、隣の3頂点の
いずれかに等しい確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{3}\end{align*}}$ で移るか、もとの頂点に確率1-aで留まる。初め頂点A
にいた点Pが、n秒後に頂点Aにいる確率をpnとする。ただし、0＜a＜1とし、nは
自然数とする。
(１) 数列{pn}の漸化式を求めよ。
(２) 確率pnを求めよ。
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【解答】
(１)
n秒後に頂点Aにいる場合、確率1-aでn+1秒後にAに留まる。
一方、n秒後に頂点Aにいない場合(確率 1-pn)はB、C、Dいずれの
頂点からも、n+1秒後に確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{3}\end{align*}}$ でAに移ってくるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+1}&=\sf \left(1-a\right)p_n+\frac{a}{3}\left(1-p_n\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p_{n+1}=\left(1-\frac{4a}{3}\right)p_n+\frac{a}{3}}\end{align*}}$
(２)
(１)の漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}-\frac{1}{4}=\left(1-\frac{4a}{3}\right)\left(p_n-\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{4}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n-\frac{1}{4}&=\sf \left(1-\frac{4a}{3}\right)^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{4}\right)\\ &=\sf \left(1-\frac{4a}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{3}{4}-a\right)\\ &=\sf \frac{3}{4}\left(1-\frac{4a}{3}\right)^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\underline{\ \frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(1-\frac{4a}{3}\right)^{n}}\end{align*}}$
まぁよくある問題ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2017
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