第２問
平面上の点Oを中心とする半径1の円をCとする。円Cの内部に点Aがある。
円Cの周上を2点P、Qが条件$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ を満たしながら動く。線分PQの中点
をRとする。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$|=r 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ とする。ただし、
0＜r＜1 とする。
(１) |$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}\end{align*}}$ |２を内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ ・$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(２) 直線OA上の点Bで、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BR}\end{align*}}$ |２ が2点P、Qの位置によらず一定であるものを
求めよ。また，このときの|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BR}\end{align*}}$ |２の値をrを用いて表せ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}\bot\overrightarrow{\sf AQ}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\overrightarrow{\sf p}-\overrightarrow{\sf a}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf a}\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf a}\cdot\left(\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)+|\overrightarrow{\sf a}|^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\left(\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)=\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
RはPQの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}}{2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AR}|^2&=\sf \left|\frac{\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}}{2}-\overrightarrow{\sf a}\right|^2\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\sf p}|^2+2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2\right)-\overrightarrow{\sf a}\cdot\left(\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)+|\overrightarrow{\sf a}|^2\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(1+2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+1\right)-\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\ \ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{2}\left(1-\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\right)}\end{align*}}$
(２)
Bは直線OA上の点なので、実数kを用いて$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=k\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と表せる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf BR}|^2&=\sf \left|\frac{\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}}{2}-k\overrightarrow{\sf a}\right|^2\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(2+2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\right)-k\overrightarrow{\sf a}\cdot\left(\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)+k^2|\overrightarrow{\sf a}|^2\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(1+\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\right)-k\left(\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf a}|^2\right)+k^2r^2\ \ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf \left(\frac{1}{2}-k\right)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+\left(k^2-k\right)r^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
これがP、Qの位置によらず一定の値をとるのは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、
すなわち、点Bが線分OAの中点と一致するときである。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf BR}|^2&=\sf \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)r^2+\frac{1}{2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{4}\left(2-r^2\right)} \end{align*}}$
(*)の条件式をうまく使える形を作りましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2017
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