第3問
数列$\small\sf{\{a_n\}}$ を次の条件によって定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=3\ ,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) nは自然数とする。不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n>\sqrt6\end{align*}}$ を証明せよ。
(2) nは自然数とする。不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-\sqrt6<\frac{1}{4}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\end{align*}}$ を証明せよ。
(3) 数列$\small\sf{\{a_n\}}$ の収束、発散について調べ、極限があればその極限を求めよ。
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【解答】
(1)
任意の自然数nに対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n>\sqrt6\end{align*}}$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{n=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=3=\sqrt9>\sqrt6\end{align*}}$ よりOK
(ⅱ) $\scriptsize\sf{n=k}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k>\sqrt6\end{align*}}$ ・・・・・・・① が成り立つとすると、
相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{k+1}&=\sf \frac{a_k}{2}+\frac{3}{a_k}\\ &\geqq \sf 2\sqrt{\frac{a_k}{2}\cdot\frac{3}{a_k}}\\ &=\sf \sqrt6\end{align*}}$
等号が成立するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_k}{2}=\frac{3}{a_k}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k^{\ 2}=6\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k=\sqrt6\ (>0)\end{align*}}$
のときであるが、①の仮定の下では等号は成立しないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}>\sqrt6\end{align*}}$ となり、n=k+1のときも不等式は成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n>\sqrt6\end{align*}}$ が成り立つ。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}-\sqrt6&=\sf \frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}-\sqrt6\\ &=\sf \frac{a_n^{\ 2}-2\sqrt6\ a_n+6}{2a_n}\\ &=\sf \frac{1}{2a_n}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\\ &<\sf \frac{1}{4}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\ \ \ \left(\because\ a_n>\sqrt6>2\right)\end{align*}}$
(3)
(2)の不等式を繰り返し用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_{n+1}-\sqrt6&<\sf \frac{1}{4}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\\ &<\sf \frac{1}{4}\left\{\frac{1}{4}\left(a_{n-1}-\sqrt6\right)^2\right\}^2\\ &=\sf \frac{1}{4^3}\left(a_{n-1}-\sqrt6\right)^4\\ &<\sf \frac{1}{4^3}\left\{\frac{1}{4}\left(a_{n-2}-\sqrt6\right)^2\right\}^4\\ &=\sf \frac{1}{4^7}\left(a_{n-2}-\sqrt6\right)^8\\ &\ \vdots\sf \\ &\ \vdots\sf \\ &<\sf \sf \frac{1}{4^{2n-1}}\left(a_{1}-\sqrt6\right)^{2n}\\ &=\sf 4\cdot\left(\frac{3-\sqrt6}{4}\right)^{2n}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{3-\sqrt6}{4}<1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ 4\cdot\left(\frac{3-\sqrt6}{4}\right)^{2n}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n+1}-\sqrt6\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n=\underline{\ \sqrt6}\end{align*}}$
相加・相乗平均を使うのは見え見えですね！
(1)、(2)は文系と共通の問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/04/29(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2017（理系）
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