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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017神戸大 理系数学2



第2問

  nを自然数とする。以下の問に答えよ。

 (1) 実数xに対して、次の等式が成り立つことを示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^n\left(-1\right)^ke^{-kx}-\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{\left(-1\right)^ne^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}\end{align*}}$

 (2) 次の等式をみたすSの値を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}-S=\left(-1\right)^n\int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx\end{align*}}$

(3) 不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx\leqq\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
    が成り立つことを示し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}\end{align*}}$ を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2017/04/13(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2017
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