第6問
点Oを原点とする座標空間内で、一辺の長さが1の正三角形OPQを動かす。
また、点A(1，0，0)に対して、∠AOPを$\small\sf{\theta}$ とおく、ただし0°≦$\small\sf{\theta}$ ≦180°と
する。
(1) 点Qが (0，0，1)にあるとき、点Pのx座標がとりうる値の範囲と、$\small\sf{\theta}$ が
とりうる値の範囲を求めよ。
(2) 点Qが平面x=0上を動くとき、辺OPが通過しうる範囲をKとする。Kの体積
を求めよ。
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【解答】
(1)
OQの中点をM(0，0，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ) とすると、正三角形OPQにおいてPMは
OQを底辺としたときの高さとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PM=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
∠OMP=90°なので、PはMを中心とし、半径が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ で、xy平面と平行な
円（Cとする）の周上を動く。
Cとzx平面の共有点のうちx座標が正のものをP1、負のものをP2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(\frac{\sqrt3}{2},0,0\right)\ \ ,\ \ P_2\left(-\frac{\sqrt3}{2},0,0\right)\end{align*}}$
なので、点Pのx座標のとり得る値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf -\frac{\sqrt3}{2}\leqq x\leqq \frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
である。
また、$\scriptsize\sf{\theta}$ =∠AOPは、PがP1と一致するとき最小となり、
PがP2と一致するとき最大となるので、$\scriptsize\sf{\theta}$ のとり得る
値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{\pi}{6}\leqq \theta\leqq \frac{5\pi}{6}}\end{align*}}$
(2)
(1)の場合、辺OPは、Oを頂点と、円Cを底面とする円錐の側面全体を
通過することになる（この曲面をSとおく）。
x軸上の点(t，0，0) （0≦t≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ）をTとし、Tを通りx軸に垂直な平面を
$\scriptsize\sf{\alpha}$ とする。平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ と曲面Sとの交線は、双曲線の一部となり（これをHとする）、
Hとzx平面との交点をE、Hと円Cとの交点をF、G、線分FGの中点をDとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf TE=OT\tan\angle AOP_1=\frac{t}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf DF=DG&=\sf \sqrt{FM^2-DM^2}\\ &=\sf \sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2-t^2}\\ &=\sf \sqrt{\frac{3}{4}-t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf TF=TG&=\sf \sqrt{DF^2+DT^2}\\ &=\sf \sqrt{\left(\frac{3}{4}-t^2\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2}\\ &=\sf \sqrt{1-t^2}\end{align*}}$
立体Kを平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ で切った断面は、双曲線Hをx軸の回りに1回転してできる
図形と等しいので、その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt{1-t^2}\right)^2\pi-\left(\frac{t}{\sqrt3}\right)^2\pi=\left(1-\frac{4}{3}t^2\right)\pi\end{align*}}$
立体Kはyz平面について対称なので、体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\pi\int_0^{\sqrt3/2}\left(1-\frac{4}{3}t^2\right)dt&=\sf 2\pi\left[t-\frac{4}{9}t^3\right]_0^{\sqrt3/2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{2\sqrt3}{3}\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
図はまた気が向いたときにでもUPしますｗｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/23(金) 02:06:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2017
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