第4問
p=2+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ とおき、自然数n=1，3，2，･･･に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\end{align*}}$
と定める。以下の問いに答えよ。ただし、設問(1)は結論のみを書けばよい。
(1) a1、a2の値を求めよ。
(2) n≧2とする。積a1anを、an+1とan-1を用いて表せ。
(3) anは自然数であることを示せ。
(4) an+1とanの最大公約数を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{p}=-\frac{1}{2+\sqrt5}=-\frac{2-\sqrt5}{\left(2+\sqrt5\right)\left(2-\sqrt5\right)}=2-\sqrt5\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\left(2+\sqrt5\right)+\left(2-\sqrt5\right)=\underline{\sf 4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\left(2+\sqrt5\right)^2+\left(2-\sqrt5\right)^2=\left(9+4\sqrt5\right)+\left(9-4\sqrt5\right)=\underline{\sf 18}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1a_n&=\sf \left(p-\frac{1}{p}\right)\left\{p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\right\}\\ &=\sf p^{n+1}+\left(-\frac{1}{p}\right)^{n+1}-p^{n-1}-\left(-\frac{1}{p}\right)^{n-1}\\ &=\sf \underline{\sf a_{n+1}-a_{n-1}}\end{align*}}$
(3)
すべての自然数nに対して、anが自然数となることw数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1，2のときは(1)より明らか
(ⅱ) 2以上の自然数kに対して、ak-1とakが自然数であると仮定すると、
(2)より
a1ak=ak+1-ak-1 ⇔ ak+1=4ak+ak-1
と変形できるので、ak+1も自然数となる。
以上より、すべての自然数nに対して、anは自然数である。
(4)
(2)より、an+1=4an+an+1 となるので、ユークリッドの互除法より、
an+1とanの最大公約数は、anとan-1の最大公約数と等しい。
このことを繰り返し用いると、an+1とanの最大公約数は、a2とa1の最大公約数
と等しいことになるので、求める最大公約数は2である。
理系との共通問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/23(金) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2017
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