第1問
座標平面において2つの放物線A：y=s(x-1)2とB：y=-x2+t2を考える。
ただしs、tは実数で、0＜s、0＜t＜1をみたすとする。放物線Aとx軸および
y軸で囲まれる領域の面積をP、放物線Bのx≧0の部分とx軸およびy軸で囲
まれた領域の面積をQとする。AとBがただ1点を共有するとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q}{P}\end{align*}}$ の最大値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、B2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\left(s-1\right)^2=-x^2+t^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s+1\right)x^2-2sx+s-t^2=0\end{align*}}$
AとBがただ1点を共有し、s+1≠0より、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=\sf s^2-\left(s+1\right)\left(s-t^2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{t^2}{1-t^2}\ \ \ \left(\because\ 1-t^2\ne 0\right)\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (*)\end{align*}}$
放物線A、Bおよびx軸、y軸の位置関係は右図のようになるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P&=\sf \int_0^1s\left(x-1\right)^2dx\\ &=\sf \bigg[\frac{s}{3}\left(x-1\right)^3\bigg]_0^1\\ &=\sf \frac{s}{3}\\ &=\sf \frac{t^2}{3\left(1-t^2\right)}\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q&=\sf \int_0^t\left(-x^2+t^2\right)dx\\ &=\sf \bigg[-\frac{x^3}{3}+t^2x\bigg]_0^t\\ &=\sf \frac{2t^3}{3}\end{align*}}$
これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q}{P}=\sf \frac{\frac{2t^3}{3}}{\frac{t^2}{3\left(1-t^2\right)}}=-2t^3+2t\end{align*}}$
ここで、関数ｆ(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=-2t^3+2t\ \ \left(0\lt t<1\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f '(t)=-6t^2+2\end{align*}}$
となるので、f(t)の増減は次のようになる。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q}{P}\end{align*}}$ の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{Q}{P}_{max}&=\sf f\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\\ &=\sf -2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^3+2\cdot\frac{1}{\sqrt3}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{4\sqrt3}{9}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/23(金) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
