第3問
平面上に鋭角三角形OABが与えられていて、正の実数x、yに対し、直線OA上に
点Qを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ =x$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ となるようにとり、直線OB上に点Rを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ =y$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ となるようにとる。
また、平面上の点Pは
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
を満たすとする。さらに、Pを通り、直線OA、OBに垂線を下ろしたときの交点を
それぞれC、Dとする。
(1) OA=a、OB=b、∠AOB=$\small\sf{\theta}$ とおくとき、CQ、DRを、a、b、$\small\sf{\theta}$ 、x、yを用いて表せ。
(2) Pが△OABの外心であるとき、x、yをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(3) Pが△OABの垂心であるとき、x、yをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(4) △OABの外心と垂心が一致するとき、△OABは正三角形であることを示せ。
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【解答】
(1)
四角形OQPRは平行四辺形なので、
PR=OQ=xOA=ax
PQ=OR=yOB=by
∠PQC=∠PRD=∠AOB=$\scriptsize\sf{\theta}$
よって、
CQ=PQcos∠PQC=bycos$\scriptsize\sf{\theta}$
DR=PRcos∠PRD=axcos$\scriptsize\sf{\theta}$
(2)
三角形の外心は、各辺の垂直二等分線の交点なので、
C、DはそれぞれOA、OBの中点である。
よって、
OA=2OC=2(OQ+CQ)
⇔ a=2(ax+bycos$\scriptsize\sf{\theta}$ )
OB=2OD=2(OR+DR)
⇔ b=2(by+axcos$\scriptsize\sf{\theta}$ )
これら2式を連立させてx、yを求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x=\frac{a-b\cos\theta}{2a\sin^2\theta}\ \ ,\ \ y=\frac{b-a\cos\theta}{2b\sin^2\theta}}\end{align*}}$
(3)
Pが△OABの垂心であるとき、直線CPは点Bを通ることになるので、
OC=OBcos$\scriptsize\sf{\theta}$ 
⇔ ax+bycos$\scriptsize\sf{\theta}$ =bcos$\scriptsize\sf{\theta}$
同様に、直線PDは点Aを通るので、
by+axcos$\scriptsize\sf{\theta}$ =acos$\scriptsize\sf{\theta}$
これら2式を連立させてx、yを求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x=\frac{\left(b-a\cos\theta\right)\cos\theta}{a\sin^2\theta}\ \ ,\ \ y=\frac{\left(a-b\cos\theta\right)\cos\theta}{b\sin^2\theta}}\end{align*}}$
(4)
△OABの外心と垂心が一致するとき、BCはOAを垂直に二等分する
ことになるので、△BOC≡△BACである。
よって、OB=ABとなる。
同様に、△AOD≡△ABDより、AO=ABとなるので、
△OABは正三角形である。
ベクトルで計算して解けということなんでしょうが、無視して平面幾何で解きました。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/03/01(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2008（経済）
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