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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2005大阪大 理系数学5(1)(2)



第5問

  nを正の整数aを正の実数とする。曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ と曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ が、
  点Pで共通の接線をもつとする。ただし、対数は自然対数である。
  点Pのx座標をtとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) a、tをそれぞれnを用いて表せ。

 (2) 曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積をS1とする。
    また、曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積を
    S2とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ をnを用いて表せ。

 (3) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを、
    次の(a)、(b)に分けて示せ。ただし、eは自然対数の底とする。
    (a) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
    (b) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (4) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/02/07(火) 00:06:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2005
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