第4問
xy平面上に2直線
L：y=-x+5 m：y=3x-3
が与えられている。曲線Cは、y=x2を平行移動した放物線であり、Lと点Pで
接し、mと点Qで接しているとする。
(1) Cの方程式を求めよ。
(2) PとQの座標を求めよ。
(3) CとL、mで囲まれた部分の面積を求めよ。
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【解答】
(1)
C：y=x2+ax+bとおく。
CとLを連立させると、
x2+ax+b=-x+5 ⇔ x2+(a+1)x+b-5=0 ･･････(ⅰ)
これが重解を持てばよいので、判別式を考えると、
D1=(a+1)2-4(b-5)=0
⇔ 4b=a2+2a+21 ･･････(ⅱ)
一方、Cとmを連立させると、
x2+ax+b=3x-3 ⇔ x2+(a-3)x+b+3=0 ･･････(ⅲ)
これが重解を持てばよいので、判別式を考えると、
D2=(a-3)2-4(b+3)=0
⇔ 4b=a2-6a-3 ･･････(ⅳ)
(ⅱ)、(ⅳ)より、
a2+2a+21=a2-6a-3 ⇔ a=-3、b=6
となるので、Cの方程式は、
y=x2-3x+6
となる。
(2)
(1)より
(ⅰ) ⇔ x2-2x+1=(x-1)2=0 ⇔ x=1
(ⅱ) ⇔ x2-6x+9=(x-3)2=0 ⇔ x=3
なので、接点P、Qの座標は、
P(1，4)、 Q(3，6)
(3)
Lとmの交点のx座標は
-x+5=3x-3 ⇔ x=2
よって、求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_1^2\big\{\left(x^2-3x+6\right)-\left(-x+5\right)\big\}dx+\int_2^3\big\{\left(x^2-3x+6\right)-\left(3x-3\right)\big\}dx\\ &=\sf \int_1^2\left(x-1\right)^2dx+\int_2^3\left(x-3\right)^2dx\\ &=\sf \left[\frac{1}{3}\left(x-1\right)^3\right]_1^2+\left[\frac{1}{3}\left(x-3\right)^3\right]_2^3\\ &=\sf \underline{\sf \frac{2}{3}}\end{align*}}$
これも難しくないです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/02/22(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2010（経済）
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