第２問
aを定数とする。xy平面上の点の集合X(a)、Lを次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf X(a)=\left\{\left(x,y\right)\bigg|\ \left(x-a\right)^2+y^2\leqq\frac{\left(a+1\right)^2}{4}\right\}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf L=\left\{\left(x,y\right)\bigg|\ y=x-1\right\}\end{align*}}$
(１) X(a)∩L=$\small\sf{\varnothing}$ となるようなaの値の範囲を求めよ。
（ただし、$\small\sf{\varnothing}$ は空集合を表す。）
(２) いかなる実数aに対してもP∉X(a)となるような点Pの集合を求め、
xy平面上に図示せよ。
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【解答】
(１)
X(a)は、中心(a，0)、半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|a+1\right|}{2}\end{align*}}$ の円（Cとする）の内部および
周を表し、Lは直線y=x-1を表す。
よって、Lが円Cと共有点をもたなければよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|a-0-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}>\frac{\left|a+1\right|}{2}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2-2a+1}{2}>\frac{a^2+2a+1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-6a+1>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf a<3-2\sqrt2\ ,\ 3+2\sqrt2\lt a}\end{align*}}$
(２)
P(X，Y)とおくと、点Pが円Cの外部にあればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(X-a\right)^2+Y^2>\frac{\left(a+1\right)^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3a^2-2\left(4X+1\right)a+4X^2+4Y^2-1>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3\left(X-\frac{4X+1}{3}\right)^2-\frac{4}{3}X^2+4Y^2-\frac{8}{3}X-\frac{4}{3}>0\end{align*}}$
これが任意のaに対して成り立てばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{4}{3}X^2+4Y^2-\frac{8}{3}X-\frac{4}{3}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+2X+1-3Y^2<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X+1\right)^2-3Y^2<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X-\sqrt3\ Y+1\right)\left(X+\sqrt3\ Y+1\right)<0\end{align*}}$
これを満たす点Pの存在範囲は下図のようになる。
（境界線上の点は含まない）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2008
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