第１問
xy平面において、放物線 y=-x2+6xとx軸で囲まれた図形に含まれ、
(a，0)と(a，-a2+6a)を結ぶ線分を一辺とする長方形を考える。ただし、
0＜a＜3とする。このような長方形の面積の最大値をS(a)とする。
(１) S(a)をaの式で表せ。
(２) S(a)の値が最大となるaを求め、関数S(a)のグラフをかけ。
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【解答】
(１)
与えられた放物線をCとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=-\left(x-3\right)^2+9\end{align*}}$
と変形できるので、Cは直線x=3について対称である。
よって、長方形の面積の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(a)&=\sf 2\left(3-a\right)\left(-a^2+6a\right)\\ &=\sf \underline{\sf 2a^3-18a^2+36a}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '(a)&=\sf 6a^2-36a+36\\ &=\sf 6\left(a^2-6a+6\right)\end{align*}}$
となるので、S(a)の増減は次のようになる。
よって、S(a)が最大となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a=3-\sqrt3}\end{align*}}$ のときであり、
S(a)のグラフは下図のようになる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2008
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