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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016三重大 医学部 数学1



第1問

  平面上の△ABCと点Oを考える。m、nは正の実数とする。

 (1) 辺ABをm:nに内分する点をMとする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OM}|^2\end{align*}}$ を
    $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OB}|^2\end{align*}}$ と内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ で表せ。さらに
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{mn}{m+n}|\overrightarrow{\sf AB}|^2+\left(m+n\right)|\overrightarrow{\sf OM}|^2=n|\overrightarrow{\sf OA}|^2+m|\overrightarrow{\sf OB}|^2\end{align*}}$
    を示せ。

 (2) 辺ABをm:nに内分する点をM1、辺BCをm:nに内分する点をM2
    辺CAをm:nに内分する点をM3とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2+|\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2\end{align*}}$ は
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{mn}{\left(m+n\right)^2}\left(|\overrightarrow{\sf AB}|^2+|\overrightarrow{\sf BC}|^2+|\overrightarrow{\sf CA}|^2\right)+|\overrightarrow{\sf OM_1}|^2+|\overrightarrow{\sf OM_2}|^2+|\overrightarrow{\sf OM_3}|^2\end{align*}}$
    に等しいことを示せ。

 (3) (2)のm、nを変化させたとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2+|\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-|\overrightarrow{\sf OM_1}|^2-|\overrightarrow{\sf OM_2}|^2-|\overrightarrow{\sf OM_3}|^2\end{align*}}$
    の最大値を、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2,|\overrightarrow{\sf BC}|^2,|\overrightarrow{\sf CA}|^2\end{align*}}$ で表せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2016/07/03(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2016(医)
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